Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que precisamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis , , e individualmente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é como a derivada normal, mas considerando que as outras variáveis são constantes.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a . Quando derivamos em relação a , tratamos , e como constantes.
A função é:
Derivando em relação a :
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, precisamos usar a regra do produto porque está multiplicando outras funções que também dependem de .
Derivando em relação a :
Explicando:
A primeira parte vem da derivada de .
A segunda parte vem da derivada de usando a regra da cadeia.
Passo 4
Vamos agora derivar em relação a . Aqui, tratamos , e como constantes.
Derivando em relação a :
Simplificando, apenas multiplicamos pelo expoente de que é 2 e reduzimos para .
Passo 5
Por último, vamos derivar em relação a . Novamente, usamos a regra da cadeia porque está dentro da função .
Derivando em relação a :
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: