Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que precisamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis
,
,
e
individualmente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é como a derivada normal, mas considerando que as outras variáveis são constantes.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
,
e
como constantes.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a
. Aqui, precisamos usar a regra do produto porque
está multiplicando outras funções que também dependem de
.
Derivando em relação a
:
Explicando:
- A primeira parte
vem da derivada de . - A segunda parte
vem da derivada de usando a regra da cadeia.
Passo 4
Vamos agora derivar em relação a
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes.
Derivando em relação a
:
Simplificando, apenas multiplicamos pelo expoente de
que é 2 e reduzimos para
.
Passo 5
Por último, vamos derivar em relação a
. Novamente, usamos a regra da cadeia porque
está dentro da função
.
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: