Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que precisamos calcular como a função muda em relação a cada uma das variáveis , , e individualmente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é como a derivada normal, mas considerando que as outras variáveis são constantes.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a . Quando derivamos em relação a , tratamos , e como constantes.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, precisamos usar a regra do produto porque está multiplicando outras funções que também dependem de .
Derivando em relação a :
Explicando:
  • A primeira parte vem da derivada de .
  • A segunda parte vem da derivada de usando a regra da cadeia.

Passo 4

Vamos agora derivar em relação a . Aqui, tratamos , e como constantes.
Derivando em relação a :
Simplificando, apenas multiplicamos pelo expoente de que é 2 e reduzimos para .

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a . Novamente, usamos a regra da cadeia porque está dentro da função .
Derivando em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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