Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto indicado:
e) com .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve entender os conceitos de continuidade e como aplicá-los a funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar calcular o limite da função quando se aproxima de por valores menores e maiores que , além de verificar o valor da função exatamente em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ). A função é dada por nesse intervalo. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de pela direita ( ). Nesse caso, a função é . Então:

Passo 4

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais ( ), o limite geral de quando se aproxima de existe e é igual a .

Passo 5

Agora, vamos verificar o valor da função exatamente em . De acordo com a definição da função:

Passo 6

Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em . Temos:

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois é diferente de .

Exercícios relacionados

Determine todas as derivadas parciais de primeira ordem da função:
.
Seja diferenciável tal que para todos . Mostre que f é uma função linear.
O que se pode dizer, baseando-se no fato acima, sobre a diferenciabilidade da função
no ponto ?
Calcule as integrais.
Calcule as integrais.