Calcule as integrais.
integral1^4 ln raizx d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e conhecer técnicas de integração, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que ln raizx = ln ( x^12 ) = 12 ln x é o mesmo que . E uma propriedade dos logaritmos diz que . Então, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Agora, nossa integral fica mais simples:
integral1^4 ln raizx , dx = integral1^4 12 ln x , dx
Podemos tirar o 12 integral1^4 ln x , dx para fora da integral:

Passo 4

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
u = ln x Rightarrow du = 1x , dx
Vamos escolher:
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x , dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa integral original com os limites de 1 a 4:
12 [ x ln x - x ]1^4
Isso significa que vamos calcular a expressão nos limites de 1 a 4 e depois multiplicar por .

Passo 7

Vamos avaliar nos limites:
Para 4 ln 4 - 4 :
1 ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1
Para (4 ln 4 - 4) - (-1) = 4 ln 4 - 4 + 1 = 4 ln 4 - 3 :
12 (4 ln 4 - 3) = 2 ln 4 - 32
Agora, a diferença entre os valores nos limites é:
Multiplicando por :

Passo 8

Podemos simplificar ln 4 = ln (2^2) = 2 ln 2 usando que 2 ln 4 = 2 times 2 ln 2 = 4 ln 2 :
2 ln 4 - 32 = 4 ln 2 - 32
Substituindo na expressão:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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