Calcule as integrais.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e conhecer técnicas de integração, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que é o mesmo que . E uma propriedade dos logaritmos diz que . Então, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Agora, nossa integral fica mais simples:
Podemos tirar o para fora da integral:

Passo 4

Para resolver , vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa integral original com os limites de 1 a 4:
Isso significa que vamos calcular a expressão nos limites de 1 a 4 e depois multiplicar por .

Passo 7

Vamos avaliar nos limites:
Para :
Para :
Agora, a diferença entre os valores nos limites é:
Multiplicando por :

Passo 8

Podemos simplificar usando que :
Substituindo na expressão:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto indicado:
e) com .
Determine o limite.
Determine o limite.