Calcule as integrais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e conhecer técnicas de integração, como a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que
é o mesmo que
. E uma propriedade dos logaritmos diz que
. Então, podemos reescrever
da seguinte forma:
Passo 3
Agora, nossa integral fica mais simples:
Podemos tirar o
para fora da integral:
Passo 4
Para resolver
, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa integral original com os limites de 1 a 4:
Isso significa que vamos calcular a expressão
nos limites de 1 a 4 e depois multiplicar por
.
Passo 7
Vamos avaliar nos limites:
Para
:
Para
:
Agora, a diferença entre os valores nos limites é:
Multiplicando por
:
Passo 8
Podemos simplificar
usando que
:
Substituindo na expressão:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.