Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Para resolver isso, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e conhecer técnicas de integração, como a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que é o mesmo que . E uma propriedade dos logaritmos diz que . Então, podemos reescrever da seguinte forma:
Passo 3
Agora, nossa integral fica mais simples:
Podemos tirar o para fora da integral:
Passo 4
Para resolver , vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa integral original com os limites de 1 a 4:
Isso significa que vamos calcular a expressão nos limites de 1 a 4 e depois multiplicar por .
Passo 7
Vamos avaliar nos limites:
Para :
Para :
Agora, a diferença entre os valores nos limites é: