Calcule as integrais
integral tan (5 x) d x

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo
Precisamos calcular a integral de tan(5x) em relação a x. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Expressando Tangente em Termos de Seno e Cosseno
Sabemos que a tangente pode ser escrita como a razão entre o seno e o cosseno:
tan(5x) = sin(5x)cos(5x)
Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 3

Aplicando a Substituição
Vamos usar a substituição para facilitar a integração. Definimos:
u = cos(5x)
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = -5sin(5x)

Passo 4

Isolando sin(5x)dx
Rearranjando a equação da derivada para isolar sin(5x)dx:
sin(5x)dx = -15du

Passo 5

Substituindo na Integral Original
Substituímos tan(5x)dx na integral original usando as expressões que encontramos:
integral tan(5x)dx = integral sin(5x)cos(5x)dx = integral -15duu = -15 integral 1udu
A integral de 1u em relação a u é ln|u|.

Passo 6

Finalizando a Integração
Integrando, temos:
-15 ln|u| + C
Agora, substituímos u de volta para termos em x:
-15 ln|cos(5x)| + C

Resposta

integral tan(5x) dx = -15 ln|cos(5x)| + C

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