Calcule as integrais: integral sen^5(2 t) cos ^2(2 t) d t

Passo 1

Estamos diante de uma integral que envolve funções trigonométricas: integral sin^5(2t) cos^2(2t) , dt. Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração que envolvem substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^5(2t) como sin^4(2t) cdot sin(2t) para facilitar a manipulação da expressão.

Passo 3

Sabemos que sin^4(2t) pode ser expressa como (sin^2(2t))^2. Isso nos ajuda a simplificar a integral usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Utilizamos a identidade trigonométrica sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Assim, temos:
sin^4(2t) = (sin^2(2t))^2 = (1 - cos^2(2t))^2

Passo 5

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral (1 - cos^2(2t))^2 cdot sin(2t) cos^2(2t) , dt

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = cos(2t) du = -2sin(2t) , dt Rightarrow sin(2t) , dt = -12 du

Passo 7

Substituindo u na integral, temos:
- 12 integral (1 - u^2)^2 cdot u^2 , du

Passo 8

Expandindo (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então, a integral fica:
- 12 integral (1 - 2u^2 + u^4) cdot u^2 , du = - 12 integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral u^2 , du = u^33 integral u^4 , du = u^55 integral u^6 , du = u^77

Passo 10

Substituindo as integrais calculadas de volta:
- 12 ( u^33 - 2u^55 + u^77 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = cos(2t), a integral resolvida é:
- 12 ( cos^3(2t)3 - 2 cos^5(2t)5 + cos^7(2t)7 ) + C

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