Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identificar padrões nas potências dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a potência do seno é ímpar (7). Quando temos uma potência ímpar de seno multiplicada por uma potência de cosseno, uma boa estratégia é separar um fator de seno para combinar com
e usar a identidade trigonométrica para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos reescrever a integral separando um :
Agora, usamos a identidade . Aplicando isso para substituir a :
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Vamos fazer a substituição
, então . Quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, expandimos
usando a fórmula do binômio:
Multiplicando por
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de 0 a 1:
Substituindo
:
E substituindo
, todos os termos serão zero.
Passo 9
Calculando os valores numéricos:
Portanto:
Para simplificar frações:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
Determine a inversa de cada função, se existir.
a)
a)
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas
Calcule as integrais: