Calcule as integrais: integral0^pi / 2 sen^7 theta cos ^5 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identificar padrões nas potências dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a potência do seno é ímpar (7). Quando temos uma potência ímpar de seno multiplicada por uma potência de cosseno, uma boa estratégia é separar um fator de seno para combinar com dtheta e usar a identidade trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando um :
Agora, usamos a identidade . Aplicando isso para substituir a :

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Vamos fazer a substituição integral0^pi / 2 (1 - cos^2 theta)^3 cos^5 theta cdot sen theta , dtheta , então . Quando u = cos theta, du = -sen theta , dtheta, e quando theta = 0, u = 1.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral1^0 (1 - u^2)^3 u^5 (-du) = integral0^1 (1 - u^2)^3 u^5 , du

Passo 6

Agora, expandimos (1 - u^2)^3 usando a fórmula do binômio:
(1 - u^2)^3 = 1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6
Multiplicando por u^5:
(1 - 3u^2 + 3u^4 - u^6) cdot u^5 = u^5 - 3u^7 + 3u^9 - u^11

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^1 ( u^5 - 3u^7 + 3u^9 - u^11 ) , du
Integrando termo a termo:
integral u^5 , du = u^66
integral u^7 , du = u^88
integral u^9 , du = u^1010
integral u^11 , du = u^1212

Passo 8

Aplicando os limites de 0 a 1:
[ u^66 - 3 cdot u^88 + 3 cdot u^1010 - u^1212 ]0^1
Substituindo u = 1:
16 - 38 + 310 - 112
E substituindo u = 0, todos os termos serão zero.

Passo 9

Calculando os valores numéricos:
16 = 0,1667
38 = 0,375
310 = 0,3
112 = 0,0833
Portanto:
0,1667 - 0,375 + 0,3 - 0,0833 = 0,1667 - 0,375 = -0,2083 + 0,3 = 0,0917 - 0,0833 = 0,0084
Para simplificar frações:
16 - 38 + 310 - 112 = 20120 - 45120 + 36120 - 10120 = 1120

Resposta

A integral é igual a integral0^pi / 2 sen^7 theta cos^5 theta , dtheta.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais: integral sen^2 x sen(2 x) d x
Determine a inversa de cada função, se existir.
a) f(x) = 2x - 1
Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas y = tan(x), y = tan^2(x), 0 <= x <= pi/4
Calcule as integrais: integral sen^5(2 t) cos ^2(2 t) d t