Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas
e
no intervalo de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas, especificamente integrando a diferença entre as duas funções nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais das duas funções está por cima no intervalo dado. Isso é importante porque a área entre as curvas é a integral da função de cima menos a de baixo.
Vamos analisar
e
para
.
Para
:
Para
:
Vamos escolher um valor no meio, por exemplo,
:
Vemos que
é maior que
no intervalo.
Passo 3
Agora que sabemos qual função está acima, podemos definir a fórmula para a área
entre as curvas:
Passo 4
Vamos resolver a integral
passo a passo.
Primeiro, lembramos que
, então podemos substituir:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando essas integrais:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de integração.
Para
:
Para
:
Portanto, a área é:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Sabemos que
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é:
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