Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas y = tan(x), y = tan^2(x), 0 <= x <= pi/4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região delimitada pelas curvas e no intervalo de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas, especificamente integrando a diferença entre as duas funções nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais das duas funções está por cima no intervalo dado. Isso é importante porque a área entre as curvas é a integral da função de cima menos a de baixo.
Vamos analisar e para .
Para :
Para :
Vamos escolher um valor no meio, por exemplo, :
Vemos que é maior que no intervalo.

Passo 3

Agora que sabemos qual função está acima, podemos definir a fórmula para a área entre as curvas:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, lembramos que , então podemos substituir:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando essas integrais:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração.
Para :
Para :
Portanto, a área é:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Sabemos que
Então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é:

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