Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais que usam funções trigonométricas, especificamente as funções tangente (
) e secante (
). Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a substituição. Sabemos que
pode ser escrita como
. Além disso, lembramos que
. Então, podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Perceba que temos duas integrais semelhantes. Vamos resolver uma delas e depois a outra.
Passo 4
Vamos focar na primeira integral:
. Aqui, podemos usar a substituição. Sabemos que a derivada de
é
, então vamos deixar
. Assim,
.
No entanto, temos
, que pode ser reescrito como
. Então, substituindo:
Passo 5
Agora, a integral está em termos de
:
Integrando, obtemos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Usando o mesmo método de substituição
, temos
. Reescrevendo a integral:
Integrando, obtemos:
Passo 7
Voltando às duas integrais que tínhamos:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.