Calcule as integrais: integral tan ^3 x sec ^6 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais que usam funções trigonométricas, especificamente as funções tangente ( ) e secante ( ). Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a substituição. Sabemos que integral tan x cdot (sec^2 x - 1) cdot sec^6 x , dx pode ser escrita como . Além disso, lembramos que . Então, podemos reescrever a integral da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral tan x cdot sec^8 x , dx - integral tan x cdot sec^6 x , dx
Perceba que temos duas integrais semelhantes. Vamos resolver uma delas e depois a outra.

Passo 4

Vamos focar na primeira integral: integral sec^7 x cdot du . Aqui, podemos usar a substituição. Sabemos que a derivada de é , então vamos deixar . Assim, .
No entanto, temos , que pode ser reescrito como . Então, substituindo:

Passo 5

Agora, a integral está em termos de integral u^7 , du :
u^88 + C = sec^8 x8 + C
Integrando, obtemos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral sec^5 x cdot du = integral u^5 , du . Usando o mesmo método de substituição u^66 + C = sec^6 x6 + C , temos . Reescrevendo a integral:
Integrando, obtemos:

Passo 7

Voltando às duas integrais que tínhamos:
integral tan^3 x sec^6 x , dx = sec^8 x8 - sec^6 x6 + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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