Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
sumk=0^infty 2 k+1k^2+3 k+4

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para mostrar a divergência da série utilizando o critério da comparação. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e vamos precisar usar o Critério da Comparação para determinar se a série diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como se comporta o termo geral da série quando fica muito grande. Olhando para , percebemos que o termo dominante no numerador é e no denominador é . Isso significa que, para valores grandes de , a fração se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série , que é conhecida como série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, não possui soma finita.

Passo 4

Vamos mostrar que, para 2k + 1k^2 + 3k + 4 >= 1k suficientemente grande, 2k + 1 >= k^2 + 3k + 4k . Para isso, comparamos:
2k + 1 >= k + 3 + 4k
Multiplicando ambos os lados por 2k + 1 >= k + 3 + 0 Rightarrow 2k + 1 >= k + 3 (que é positivo para todo k + 1 >= 3 Rightarrow k >= 2 ), temos:
Simplificando o lado direito:
Para , , então:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, para , .

Passo 5

Como a série diverge e para , pelo Critério da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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