Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para mostrar a divergência da série
utilizando o critério da comparação. Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e vamos precisar usar o Critério da Comparação para determinar se a série diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como se comporta o termo geral da série quando
fica muito grande. Olhando para
, percebemos que o termo dominante no numerador é
e no denominador é
. Isso significa que, para valores grandes de
, a fração se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
, que é conhecida como série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge, ou seja, não possui soma finita.
Passo 4
Vamos mostrar que, para
suficientemente grande,
. Para isso, comparamos:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo para todo
), temos:
Simplificando o lado direito:
Para
,
, então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto, para
,
.
Passo 5
Como a série
diverge e
para
, pelo Critério da Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.