Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
sumk=2^infty 1raizln k

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita sumk=2^infty 1raizln k e precisamos mostrar que ela diverge usando o critério da comparação. Para isso, vamos precisar entender o que é esse critério e encontrar uma série conhecida para comparar com a nossa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o critério da comparação. Ele afirma que se temos duas séries sum ak e sum bk com ak >= bk para todo k a partir de certo ponto, e sabemos que sum bk diverge, então sum ak também diverge. Ou seja, comparar nossa série com uma que já sabemos o comportamento nos ajuda a concluir sobre a nossa.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o termo geral da nossa série: 1raizln k. Queremos compará-lo com um termo de uma série cujo comportamento já conhecemos. Observamos que ln k cresce sem limite conforme k aumenta, mas de forma mais lenta que qualquer potência de k.

Passo 4

Sabemos que para k > 1, ln k < k. Então, podemos afirmar que:
raizln k < raizk

Passo 5

Tomando os inversos das duas desigualdades (e lembrando que, ao inverter, a desigualdade se mantém porque os termos são positivos), temos:
1raizln k > 1raizk

Passo 6

Agora, consideramos a série sumk=2^infty 1raizk. Essa é uma série p com p = 12. Sabemos que uma série p diverge se p <= 1. Portanto, sumk=2^infty 1raizk diverge.

Passo 7

Como nossa série sumk=2^infty 1raizln k tem termos maiores que os termos da série que já sabemos que diverge ( sumk=2^infty 1raizk), pelo critério da comparação, podemos concluir que nossa série também diverge.

Resposta

A série sumk=2^infty 1raizln k diverge pelo critério da comparação.

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