Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos mostrar que ela diverge usando o critério da comparação. Para isso, vamos precisar entender o que é esse critério e encontrar uma série conhecida para comparar com a nossa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o critério da comparação. Ele afirma que se temos duas séries
e
com
para todo
a partir de certo ponto, e sabemos que
diverge, então
também diverge. Ou seja, comparar nossa série com uma que já sabemos o comportamento nos ajuda a concluir sobre a nossa.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo geral da nossa série:
. Queremos compará-lo com um termo de uma série cujo comportamento já conhecemos. Observamos que
cresce sem limite conforme
aumenta, mas de forma mais lenta que qualquer potência de
.
Passo 4
Sabemos que para
,
. Então, podemos afirmar que:
Passo 5
Tomando os inversos das duas desigualdades (e lembrando que, ao inverter, a desigualdade se mantém porque os termos são positivos), temos:
Passo 6
Agora, consideramos a série
. Essa é uma série p com
. Sabemos que uma série p diverge se
. Portanto,
diverge.
Passo 7
Como nossa série
tem termos maiores que os termos da série que já sabemos que diverge (
), pelo critério da comparação, podemos concluir que nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo critério da comparação.