Calcule as integrais: integral sen^2 x sen(2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente com senos elevados a potências diferentes. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a identidade trigonométrica para sin(2x) = 2 sin x cos x é:
integral sin^2x cdot 2 sin x cos x , dx = 2 integral sin^3x cos x , dx
Substituindo essa identidade na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a expressão multiplicando por .

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sin x
Então, a derivada de du = cos x , dx em relação a 2 integral u^3 , du é:
Isso significa que . Substituindo na integral, temos:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 4

Agora, vamos integrar 2 integral u^3 , du = 2 ( u^44 ) + C = u^42 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por último, voltamos à variável original substituindo (sin x)^42 + C = sin^4x2 + C :

Resposta

A integral é igual a .

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