Calcule as integrais: integral sen(3 x) sen(6 x) d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de sin(3x) cdot sin(6x) em relação a x. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de dois senos em uma expressão mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
sin A cdot sin B = 12 [ cos(A - B) - cos(A + B) ]
Essa fórmula vai nos ajudar a simplificar a expressão que queremos integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade com A = 3x e B = 6x, temos:
sin(3x) cdot sin(6x) = 12 [ cos(3x - 6x) - cos(3x + 6x) ]
Simplificando os argumentos das cossenos:
sin(3x) cdot sin(6x) = 12 [ cos(-3x) - cos(9x) ]
E como cos(-3x) = cos(3x), fica:
sin(3x) cdot sin(6x) = 12 [ cos(3x) - cos(9x) ]

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral original usando essa simplificação:
integral sin(3x) cdot sin(6x) , dx = 12 integral [ cos(3x) - cos(9x) ] dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
12 integral cos(3x) , dx - 12 integral cos(9x) , dx
As integrais de cos(kx) são:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
Aplicando isso:
12 ( sin(3x)3 ) - 12 ( sin(9x)9 ) + C

Resposta

Portanto, a integral de sin(3x) cdot sin(6x) é:
16 sin(3x) - 118 sin(9x) + C

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