Calcule as integrais. integral sen x1+cos x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções trigonométricas: integral sin x1 + cos x , dx. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil. Olha só, no denominador temos 1 + cos x. Vamos chamar esse termo de u. Então:
u = 1 + cos x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Derivando ambos os lados:
dudx = -sin x
Isso significa que:
du = -sin x , dx

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para isolar sin x , dx:
sin x , dx = -du

Passo 5

Agora, substituímos u e sin x , dx na integral original:
integral sin x1 + cos x , dx = integral -duu

Passo 6

A integral integral 1u , du é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Então:
integral -duu = -ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para termos de x:
- ln|1 + cos x| + C

Resposta

- ln|1 + cos x| + C

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