Calcule as integrais.
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Passo 1
Vamos lá! Você quer calcular a integral
. Esse problema envolve integração de funções racionais, e para resolvê-lo, vamos precisar usar frações parciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. O denominador é
. Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos fatorar
. Podemos tirar um fator comum de
:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
:
Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração
em frações parciais. A ideia é decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Para encontrar
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Vamos expandir e simplificar o lado direito para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 6
Expandindo cada termo:
Então:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
,
e
.
Passo 8
Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Por fim, substituímos
e
na segunda equação:
Calculando:
Passo 9
Agora que temos
,
e
, voltamos às frações parciais:
Podemos reescrever isso como:
Passo 10
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos lembrar de algumas integrais básicas:
-
-
(com substituição) -
Passo 11
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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Determine a derivada de cada função a seguir: