Calcule as integrais. .

Passo 1

Vamos lá! Você quer calcular a integral . Esse problema envolve integração de funções racionais, e para resolvê-lo, vamos precisar usar frações parciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. O denominador é . Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fatorar . Podemos tirar um fator comum de :
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático :
Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração em frações parciais. A ideia é decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Para encontrar , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos expandir e simplificar o lado direito para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Expandindo cada termo:
Então:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 8

Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Por fim, substituímos e na segunda equação:
Calculando:

Passo 9

Agora que temos , e , voltamos às frações parciais:
Podemos reescrever isso como:

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos lembrar de algumas integrais básicas:
  • (com substituição)

Passo 11

Aplicando as integrais:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Calcule as integrais. .
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Calcule as integrais. .
Determine a derivada de cada função a seguir: