Calcule as integrais. integral x^2+4x^3-6 x^2+9 x d x.

Passo 1

Vamos lá! Você quer calcular a integral . Esse problema envolve integração de funções racionais, e para resolvê-lo, vamos precisar usar frações parciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. O denominador é . Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fatorar x^3-6x^2+9x = x(x^2-6x+9) . Podemos tirar um fator comum de x^2-6x+9 = (x-3)^2 :
x(x-3)^2
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático :
Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora que temos o denominador fatorado, vamos expressar a fração x^2+4x(x-3)^2 = Ax + Bx-3 + C(x-3)^2 em frações parciais. A ideia é decompor a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Para encontrar x^2 + 4 = A(x-3)^2 + Bx(x-3) + Cx , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos expandir e simplificar o lado direito para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Expandindo cada termo:
  • x^2 + 4 = A x^2 -6A x +9A + Bx^2 -3B x + Cx
  • x^2 + 4 = (A + B)x^2 + (-6A -3B + C)x +9A
Então:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 8

Primeiro, da terceira equação:
4 = 9A implies A = 49
Agora, substituímos 1 = 49 + B implies B = 1 - 49 = 59 na primeira equação:
0 = -6(49) -3(59) + C
Por fim, substituímos 0 = -249 - 159 + C implies C = 399 = 133 e na segunda equação:
Calculando:

Passo 9

Agora que temos x^2+4x(x-3)^2 = 49x + 59x-3 + 133(x-3)^2 , x^2+4x(x-3)^2 = 49 cdot 1x + 59 cdot 1x-3 + 133 cdot 1(x-3)^2 e , voltamos às frações parciais:
Podemos reescrever isso como:

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^2+4x(x-3)^2 , dx = 49 integral 1x , dx + 59 integral 1x-3 , dx + 133 integral 1(x-3)^2 , dx
Vamos lembrar de algumas integrais básicas:
  • (com substituição)

Passo 11

Aplicando as integrais:
49 ln|x| + 59 ln|x-3| - 133 cdot 1x-3 + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 49 ln|x| + 59 ln|x-3| - 133 cdot 1x-3 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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