Calcule as integrais: integral t e^2 t d t

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral de . Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar as partes e que vamos usar na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Isso ajuda a transformar uma integral complicada em outras mais simples.

Passo 3

Agora, vamos escolher as partes e da nossa integral:
  • Escolha : porque ao derivar , simplificamos a expressão.
  • Escolha : porque é fácil de integrar.

Passo 4

Vamos calcular du = ddt(t) , dt = 1 , dt e v = integral e^2t , dt = 12 e^2t :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral t e^2t , dt = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= t cdot 12 e^2t - integral 12 e^2t cdot 1 , dt

Passo 6

Vamos simplificar a integral restante:
= t e^2t2 - 12 integral e^2t , dt
Integrando integral e^2t , dt = 12 e^2t novamente:
= t e^2t2 - 12 cdot 12 e^2t
Então:
= t e^2t2 - e^2t4

Resposta

integral t e^2 t , dt = t e^2t2 - e^2t4 + C

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