Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
de
a
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, e para resolver vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
com uma função de múltiplos ângulos. A identidade que vamos usar é:
Essa identidade ajuda a reduzir o produto de senos e cossenos em termos de uma função mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora que simplificamos a expressão, substituímos na integral original:
Podemos factorizar a constante
fora da integral:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
- A integral de
em relação a é simplesmente . - A integral de
em relação a é .
Então temos:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a expressão no limite superior e inferior:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
Calcule as integrais:
Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas
e
.