Calcule as integrais: integral0^pi / 2 sen^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de sin^2x cos^2x de 0 a pi2. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, e para resolver vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^2x cos^2x. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona sin^2x cos^2x com uma função de múltiplos ângulos. A identidade que vamos usar é:
sin^2x cos^2x = 18(1 - cos4x)
Essa identidade ajuda a reduzir o produto de senos e cossenos em termos de uma função mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, substituímos na integral original:
integral0^pi2 sin^2x cos^2x , dx = integral0^pi2 18(1 - cos4x) , dx
Podemos factorizar a constante 18 fora da integral:
= 18 integral0^pi2 (1 - cos4x) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de 1 em relação a x é simplesmente x.
  2. A integral de cos4x em relação a x é 14sin4x.
Então temos:
18 [ integral0^pi2 1 , dx - integral0^pi2 cos4x , dx ] = 18 [ x - 14sin4x ]0^pi2

Passo 5

Agora, vamos avaliar a expressão no limite superior e inferior:
Para x = pi2:
pi2 - 14sin4 cdot pi2 = pi2 - 14sin2pi = pi2 - 0 = pi2
Para x = 0:
0 - 14sin0 = 0 - 0 = 0
Subtraindo os valores:
18 ( pi2 - 0 ) = pi16

Resposta

O valor da integral é pi16.

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