Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de de a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, e para resolver vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com uma função de múltiplos ângulos. A identidade que vamos usar é:
Essa identidade ajuda a reduzir o produto de senos e cossenos em termos de uma função mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, substituímos na integral original:
Podemos factorizar a constante fora da integral:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de em relação a é simplesmente .
  2. A integral de em relação a é .
Então temos:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a expressão no limite superior e inferior:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais:
Calcule as integrais:
Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas e .