Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações com denominadores menores, tipo , onde e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns para eliminar as frações:
Explicando, isso significa que o numerador da esquerda deve ser igual à soma dos numeradores da direita após distribuir os e .

Passo 4

Vamos expandir e organizar os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, usando :

Passo 6

Com e , podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Integrando:
Para , fazemos a substituição , então ou . A integral fica:
Para , a integral é direta:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
onde é a constante de integração.

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Determine a área da região delimitada pelas curvas e .
Determine a equação da reta tangente da função no ponto dado usando a definição em