Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração
em frações parciais. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações com denominadores menores, tipo
, onde
e
são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns para eliminar as frações:
Explicando, isso significa que o numerador da esquerda deve ser igual à soma dos numeradores da direita após distribuir os
e
.
Passo 4
Vamos expandir e organizar os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, usando
:
Passo 6
Com
e
, podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 7
Integrando:
Para
, fazemos a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Para
, a integral é direta:
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
onde
é a constante de integração.
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Determine a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Determine a equação da reta tangente da função no ponto dado usando a definição
em