Calcule as integrais: integral 5 x+1(2 x+1)(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar essa fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações com denominadores menores, tipo , onde e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelos denominadores comuns para eliminar as frações:
5x + 1 = A(x - 1) + B(2x + 1)
Explicando, isso significa que o numerador da esquerda deve ser igual à soma dos numeradores da direita após distribuir os e .

Passo 4

Vamos expandir e organizar os termos:
5x + 1 = A cdot x - A + B cdot 2x + B
5x + 1 = (A + 2B)x + (-A + B)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + 2B = 5 (coeficiente de x)
-A + B = 1 (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar -A + B = 1 Rightarrow A = B - 1 e (B - 1) + 2B = 5 .
Primeiro, da segunda equação:
3B - 1 = 5
Substituindo 3B = 6 Rightarrow B = 2 na primeira equação:
A = 2 - 1 = 1
Agora, usando :

Passo 6

Com 5x + 1(2x + 1)(x - 1) = 12x + 1 + 2x - 1 e integral 12x + 1 dx + integral 2x - 1 dx , podemos escrever a fração original como:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 7

Integrando:
Para 12 ln|2x + 1| , fazemos a substituição 2 ln|x - 1| , então ou . A integral fica:
Para , a integral é direta:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
12 ln|2x + 1| + 2 ln|x - 1| + C
onde é a constante de integração.

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