Calcule as integrais.
integral t sen 4 t d t

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de derivação e as integrais básicas de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos usar a integração por partes, que é ótima quando temos um produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Primeiro, precisamos escolher o que vai ser v = integral sen(4t) , dt = -cos(4t)4 e o que vai ser :
  • Seja . Então, derivando, .
  • Seja . Agora, precisamos integrar para achar :

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral t cdot sen(4t) , dt = u cdot v - integral v cdot du
Simplificando:
= t cdot (-cos(4t)4) - integral (-cos(4t)4) cdot dt

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:

Resposta

A integral de é:

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