Calcule as integrais. integral(t sin t i+j) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral(t sin t i+j) , dt. A gente vai usar conhecimento de cálculo integral, especialmente integração de funções vetoriais. Precisamos integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a parte que está na direção do vetor i, que é t sin t. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 3

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = t e dv = sin t , dt. Então, calculamos du = dt e v = -cos t.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt
Agora, integramos cos t:
integral cos t , dt = sin t

Passo 5

Substituindo de volta:
integral t sin t , dt = -t cos t + sin t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar a parte que está na direção do vetor j, que é constante: j. A integral de uma constante em relação a t é simplesmente a constante vezes t:
integral j , dt = j , t + C

Resposta

Então, a integral completa é:
integral(t sin t i+j) , dt = (-t cos t + sin t) i + t j + C
Onde C é o vetor constante de integração.

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