Obtenha a parametrização por comprimento do arco da curva que tenha a mesma orientação da curva dada e como ponto de referência.

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a parametrização por comprimento de arco da curva dada pela equação para . Isso significa que vamos reescrever a curva em termos do comprimento do arco, mantendo a mesma direção e usando como ponto de referência. Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivada, velocidade e integração para calcular o comprimento do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de em relação a . A derivada nos dá a velocidade vetor da curva.
Usando a regra do produto, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é o módulo de . Isso é dado por:
Simplificando os termos dentro da raiz:

Passo 4

O próximo passo é calcular o comprimento do arco desde até um ponto qualquer. Isso é feito integrando a velocidade escalar:
Integrando:

Passo 5

Agora, precisamos expressar em função de . A equação que temos é:
Resolvendo para :
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 6

Por fim, substituímos na expressão original de para obter a parametrização por comprimento do arco :
Substituindo :

Resposta

A parametrização por comprimento do arco da curva é:

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Encontre o comprimento de arco.
Calcule as integrais.
Obtenha e no ponto dado.
Calcule a integral dupla. , onde é a região triangular de vértices e . GAB: