Obtenha a parametrização por comprimento do arco da curva que tenha a mesma orientação da curva dada e
como ponto de referência.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a parametrização por comprimento de arco da curva dada pela equação
para
. Isso significa que vamos reescrever a curva em termos do comprimento do arco, mantendo a mesma direção e usando
como ponto de referência. Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivada, velocidade e integração para calcular o comprimento do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
em relação a
. A derivada
nos dá a velocidade vetor da curva.
Usando a regra do produto, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é o módulo de
. Isso é dado por:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Passo 4
O próximo passo é calcular o comprimento do arco
desde
até um ponto
qualquer. Isso é feito integrando a velocidade escalar:
Integrando:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em função de
. A equação que temos é:
Resolvendo para
:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 6
Por fim, substituímos
na expressão original de
para obter a parametrização por comprimento do arco
:
Substituindo
:
Resposta
A parametrização por comprimento do arco da curva é:
Exercícios relacionados
Encontre o comprimento de arco.
Calcule as integrais.
Obtenha
e
no ponto dado.
Calcule a integral dupla.
, onde
é a região triangular de vértices
e
. GAB: