Encontre o comprimento de arco.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento de arco de uma curva definida pelas funções paramétricas , e no intervalo de de a . Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com o cálculo de comprimento de arco em curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco para uma curva no espaço tridimensional. Se temos uma curva definida por , e , o comprimento de arco de a é dado por:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Podemos fatorar o 9 e dentro da raiz:
Sabemos que , então simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Podemos usar a substituição , então . Quando , ; quando , . A integral fica:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

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Calcule as integrais.
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Obtenha a parametrização por comprimento do arco da curva que tenha a mesma orientação da curva dada e como ponto de referência.
Obtenha e no ponto dado.