Encontre o comprimento de arco.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento de arco de uma curva definida pelas funções paramétricas
,
e
no intervalo de
de
a
. Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com o cálculo de comprimento de arco em curvas paramétricas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco para uma curva no espaço tridimensional. Se temos uma curva definida por
,
e
, o comprimento de arco
de
a
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Podemos fatorar o 9 e
dentro da raiz:
Sabemos que
, então simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Podemos usar a substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
. A integral fica:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais.
Encontre
Obtenha a parametrização por comprimento do arco da curva que tenha a mesma orientação da curva dada e
como ponto de referência.
Obtenha
e
no ponto dado.