Sejam
e
funções vetoriais no espaço tridimensional, mostre que
Passo 1
Beleza, então a gente tem duas funções vetoriais no espaço tridimensional, chamadas
e
. A tarefa aqui é mostrar que a derivada em relação a
do produto vetorial dessas duas funções é igual à soma do produto vetorial da derivada de
com
e
com a derivada de
. Ou seja, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto para derivadas aplicadas a produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada de um produto vetorial. Assim como na derivada de produtos escalares, onde usamos a regra do produto, para produtos vetoriais também aplicamos uma regra similar. A ideia é que a derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais é igual à derivada da primeira função vetorial vezes a segunda função vetorial mais a primeira função vetorial vezes a derivada da segunda função vetorial.
Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Agora, aplicando essa regra às nossas funções
e
, temos:
Isso mostra exatamente o que precisamos provar.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Determine se
e b)
são funções vetoriais lisas de parâmetro
.
Obtenha uma equação vetorial da reta tangente a trajetória de
no ponto em que
.
.
Encontre
Calcule as integrais.