Sejam e funções vetoriais no espaço tridimensional, mostre que

Passo 1

Beleza, então a gente tem duas funções vetoriais no espaço tridimensional, chamadas e . A tarefa aqui é mostrar que a derivada em relação a do produto vetorial dessas duas funções é igual à soma do produto vetorial da derivada de com e com a derivada de . Ou seja, queremos provar que:
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto para derivadas aplicadas a produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada de um produto vetorial. Assim como na derivada de produtos escalares, onde usamos a regra do produto, para produtos vetoriais também aplicamos uma regra similar. A ideia é que a derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais é igual à derivada da primeira função vetorial vezes a segunda função vetorial mais a primeira função vetorial vezes a derivada da segunda função vetorial.
Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Agora, aplicando essa regra às nossas funções e , temos:
Isso mostra exatamente o que precisamos provar.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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Determine se e b) são funções vetoriais lisas de parâmetro .
Obtenha uma equação vetorial da reta tangente a trajetória de no ponto em que . .
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