Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as áreas das regiões que são delimitadas pelas duas curvas dadas:
e
. Isso envolve entender onde essas curvas se encontram e depois calcular a área entre elas usando cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se intersectam.
Passo 3
Subtraindo
de ambos os lados para colocar a equação igual a zero:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
ou
.
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Assim:
Isso resulta em duas soluções:
Passo 6
Então, as curvas se intersectam nos pontos
,
e
. Agora, precisamos determinar qual curva está por cima em cada intervalo para calcular a área entre elas.
Passo 7
Vamos testar um valor de
em cada intervalo para ver qual função está acima:
-
Entre
e : - Escolha
: Aqui, .
- Escolha
-
Entre
e : - Escolha
: Aqui, .
- Escolha
Passo 8
Agora que sabemos qual função está por cima em cada intervalo, podemos configurar as integrais para calcular a área entre as curvas:
-
Entre
e : Simplificando dentro da integral: -
Entre
e : Simplificando dentro da integral:
Passo 9
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
-
Calculando
: Avaliando dea : Simplificando: -
Calculando
: Avaliando dea : Simplificando:
Resposta
A área total das regiões delimitadas pelas curvas é a soma das duas áreas calculadas:
Exercícios relacionados
Obtenha todas as raízes, na forma polar,
dos seguintes polinômios complexos:
(a)
(b) ;
© (isto é, achar as duas raízes quadradas de 1 );
(d) (isto é, achar as quatro raízes quartas de -1 ).
(a)
(b)
©
(d)
Calcule as integrais
Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a)
;
(b) ;
©
(b)
©