Calcules as áreas das regiões planas delimitadas por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as áreas das regiões que são delimitadas pelas duas curvas dadas: e . Isso envolve entender onde essas curvas se encontram e depois calcular a área entre elas usando cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se intersectam.

Passo 3

Subtraindo de ambos os lados para colocar a equação igual a zero:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis: ou .

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Assim:
Isso resulta em duas soluções:

Passo 6

Então, as curvas se intersectam nos pontos , e . Agora, precisamos determinar qual curva está por cima em cada intervalo para calcular a área entre elas.

Passo 7

Vamos testar um valor de em cada intervalo para ver qual função está acima:
  1. Entre e :
    • Escolha : Aqui, .
  2. Entre e :
    • Escolha : Aqui, .

Passo 8

Agora que sabemos qual função está por cima em cada intervalo, podemos configurar as integrais para calcular a área entre as curvas:
  1. Entre e :
    Á
    Simplificando dentro da integral:
  2. Entre e :
    Á
    Simplificando dentro da integral:

Passo 9

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Calculando Á:
    Avaliando de a :
    Simplificando:
  2. Calculando Á:
    Avaliando de a :
    Simplificando:

Resposta

A área total das regiões delimitadas pelas curvas é a soma das duas áreas calculadas:
Á

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Obtenha todas as raízes, na forma polar, dos seguintes polinômios complexos:
(a)
(b) ;
© (isto é, achar as duas raízes quadradas de 1 );
(d) (isto é, achar as quatro raízes quartas de -1 ).
.
Calcule as integrais
Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a) ;
(b) ;
©