Obtenha todas as raízes, na forma polar, 57 dos seguintes polinômios complexos:
(a) z^2 + z + 1 = 0
(b) w^2 + 2w + i = 0;
© z^2 - 1 = 0 (isto é, achar as duas raízes quadradas de 1 );
(d) w^4 + 1 = 0 (isto é, achar as quatro raízes quartas de -1 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as raízes, na forma polar, de alguns polinômios complexos. Isso implica que vamos trabalhar com números complexos e expressar as soluções em termos de módulo e argumento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra de números complexos, como a forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
Primeiro, identificamos que é uma equação quadrática em . Para resolver equações quadráticas, usamos a fórmula de Bhaskara, que também funciona para números complexos.
A fórmula de Bhaskara é:
onde , , e .

Passo 3

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, sabemos que as raízes serão números complexos conjugados.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as duas raízes são:

Passo 5

Agora, vamos converter essas raízes para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde é o módulo e é o argumento.
Primeiro, calculamos o módulo :
Então, o módulo é 1.

Passo 6

Agora, encontramos o argumento para cada raiz.
Para :
Para :

Passo 7

Finalmente, expressamos as raízes na forma polar:

Resposta

As raízes da equação na forma polar são:

Exercícios relacionados