Calcule as integrais:
(o) integral tan ^5(x) sec ^3(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo aqui envolve integrais de funções trigonométricas, especialmente usando substituição e identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de derivadas e como manipular as funções tangente e secante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a substituição. A gente sabe que integral tan^5(x) sec^3(x) , dx = integral tan^4(x) sec^2(x) cdot sec(x) tan(x) , dx , então vamos tentar separar uma que é útil para a substituição.

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos deixar integral u^4 cdot sec(x) , du . A derivada de em relação a é . Reorganizando a integral:
Mas ainda temos uma na expressão. Sabemos que , mas isso complica a integral. Então, em vez disso, vamos usar outra abordagem: reduzir a potência da secante.

Passo 4

Vamos usar a identidade tan^4(x) = (tan^2(x))^2 = ( sec^2(x) - 1 )^2 = sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1 para reduzir a potência:
integral (sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1) sec^2(x) cdot sec(x) tan(x) , dx
Agora, substituímos de volta na integral:
Isso ainda está complicado, então vamos simplificar mantendo apenas uma potência de para a substituição funcionar melhor.

Passo 5

Vamos tentar separar integral sec(x) tan(x) cdot tan^4(x) sec^2(x) , dx para a substituição. Reescrevemos a integral:
15 integral sec(x) , du
Agora, fazemos a substituição , então . Rearranjando, temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a 15 sec(x) cdot u + C :
15 tan^5(x) sec(x) + C
Substituindo de volta:

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

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