Calcule as integrais:
(o)
;
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. O conteúdo aqui envolve integrais de funções trigonométricas, especialmente usando substituição e identidades trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de derivadas e como manipular as funções tangente e secante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a substituição. A gente sabe que
, então vamos tentar separar uma
que é útil para a substituição.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição. Vamos deixar
. A derivada de
em relação a
é
. Reorganizando a integral:
Mas ainda temos uma
na expressão. Sabemos que
, mas isso complica a integral. Então, em vez disso, vamos usar outra abordagem: reduzir a potência da secante.
Passo 4
Vamos usar a identidade
para reduzir a potência:
Agora, substituímos de volta na integral:
Isso ainda está complicado, então vamos simplificar mantendo apenas uma potência de
para a substituição funcionar melhor.
Passo 5
Vamos tentar separar
para a substituição. Reescrevemos a integral:
Agora, fazemos a substituição
, então
. Rearranjando, temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo
de volta:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.