Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado trouxe:
. A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar transformar essa equação em uma que seja linear usando uma substituição apropriada.
Passo 2
Primeiro, identifique os termos da equação:
Aqui,
,
e
. Isso se encaixa na forma geral de uma EDO de Bernoulli:
Passo 3
Como essa é uma EDO de Bernoulli, podemos resolver fazendo uma substituição que vai transformar a equação em uma equação linear. Vamos definir uma nova variável
tal que:
Isso nos ajudará a simplificar a equação.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
:
Vamos substituir
da equação original nessa expressão.
Passo 5
Substituindo
na equação original, temos:
Simplificando, obtemos uma equação linear em termos de
:
Passo 6
Agora, resolvemos essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados da equação por esse fator:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, isolando
:
Lembrando que
, temos:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.