Resolva as seguintes EDO d y/d x - y = e^(-3 x) y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado trouxe: . A matéria aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar transformar essa equação em uma que seja linear usando uma substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação:
Aqui, , e . Isso se encaixa na forma geral de uma EDO de Bernoulli:

Passo 3

Como essa é uma EDO de Bernoulli, podemos resolver fazendo uma substituição que vai transformar a equação em uma equação linear. Vamos definir uma nova variável tal que:
Isso nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :
Vamos substituir da equação original nessa expressão.

Passo 5

Substituindo na equação original, temos:
Simplificando, obtemos uma equação linear em termos de :

Passo 6

Agora, resolvemos essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é . Multiplicando ambos os lados da equação por esse fator:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, isolando :
Lembrando que , temos:
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados