Calcule as integrais:
(m) integral0^1 e^x1+e^2 x d x;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre substituição e funções trigonométricas inversas. Vamos precisar entender como simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observe o denominador . Isso se assemelha à forma , cuja integral está relacionada à função arco-tangente ( ). Para simplificar, vamos fazer uma substituição onde .

Passo 3

Com a substituição du = e^x dx implies dx = due^x = duu , calculamos a diferencial integral e^x1 + e^2x dx = integral u1 + u^2 cdot duu = integral 11 + u^2 du :
Agora, substituímos na integral:

Passo 4

A integral integral 11 + u^2 du = arctan(u) + C é uma forma padrão que resulta na função arco-tangente:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original arctan(u) = arctan(e^x) substituindo integral0^1 e^x1 + e^2x dx = [ arctan(e^x) ]0^1 = arctan(e^1) - arctan(e^0) :
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites de integração:

Passo 6

Simplificando os termos:
arctan(e^1) = arctan(e)
arctan(e^0) = arctan(1) = pi4
Portanto:
arctan(e) - pi4

Resposta

A integral vale .

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