Resolva as seguintes EDO dy/dx = -4/x^2 - y/x + y^2 ; y1 = 2/x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais não lineares, especificamente as equações de Riccati. Para resolver essa EDO, vamos precisar encontrar uma solução particular e transformar a equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma solução particular da EDO. A solução fornecida é:
Vamos verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial. Calculando a derivada de :
Substituindo e na EDO:
Simplificando:
Como os lados são iguais, é de fato uma solução particular.

Passo 3

Agora, vamos usar a solução particular para simplificar a EDO. Fazemos a substituição:
Nosso objetivo é encontrar a função . Calculamos a derivada de :
Substituímos e na EDO original:
Simplificando os termos, chegamos a uma equação linear para :

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Substituímos de volta na expressão para :
Simplificando a fração:
Podemos reescrever como uma constante :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é a constante de integração.

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