Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais não lineares, especificamente as equações de Riccati. Para resolver essa EDO, vamos precisar encontrar uma solução particular e transformar a equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, identificamos uma solução particular da EDO. A solução fornecida é:
Vamos verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial. Calculando a derivada de
:
Substituindo
e
na EDO:
Simplificando:
Como os lados são iguais,
é de fato uma solução particular.
Passo 3
Agora, vamos usar a solução particular para simplificar a EDO. Fazemos a substituição:
Nosso objetivo é encontrar a função
. Calculamos a derivada de
:
Substituímos
e
na EDO original:
Simplificando os termos, chegamos a uma equação linear para
:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituímos
de volta na expressão para
:
Simplificando a fração:
Podemos reescrever
como uma constante
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é a constante de integração.