Calcule as integrais: integral tan ^3(x) sec (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^3(x) = (sec^2(x) - 1) cdot tan(x) de uma forma que nos ajude a simplificar a integral. Sabemos que . E como , podemos substituir:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral tan^3(x) sec(x) , dx = integral (sec^2(x) - 1) cdot tan(x) cdot sec(x) , dx
Simplificando, temos:
integral (sec^3(x) tan(x) - sec(x) tan(x)) , dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral sec^3(x) tan(x) , dx - integral sec(x) tan(x) , dx
Cada uma dessas integrais será resolvida individualmente.

Passo 5

Para a primeira integral du = 3 sec^2(x) tan(x) , dx , podemos usar a substituição. Vamos deixar integral sec^3(x) tan(x) , dx = 14 sec^4(x) + C . Derivando , temos:
Mas isso complica um pouco, então vamos considerar outra abordagem. Sabemos que a derivada de é , então podemos ajustar para facilitar a integração:

Passo 6

Para a segunda integral integral sec(x) tan(x) , dx = sec(x) + C , isso é direto. Sabemos que a integral de é :

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que integramos:
14 sec^4(x) - sec(x) + C

Resposta

A integral 14 sec^4(x) - sec(x) + C é igual a:

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