, considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação diferencial
e nos pede para considerar uma solução particular
. Vamos resolver essa equação passo a passo, entendendo os conceitos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que estamos lidando. A equação dada é não linear por causa do termo
. Esse tipo de equação é conhecido como Equação de Riccati. A forma geral de uma equação de Riccati é:
No nosso caso, rearranjando a equação:
Podemos ver que se encaixa na forma de Riccati com:
Passo 3
Sabendo que temos uma solução particular
, podemos usar essa solução para transformar a equação de Riccati em uma equação linear, facilitando a resolução. Para isso, fazemos a substituição:
onde
é uma nova função a ser determinada.
Passo 4
Vamos substituir
na equação original. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na equação de Riccati:
Essa substituição vai simplificar a equação em termos de
.
Passo 5
Após simplificar a substituição, o objetivo é conseguir uma equação linear em
. Vamos reorganizar os termos e simplificar:
Isso nos leva a uma equação linear para
, que pode ser resolvida usando métodos tradicionais para equações diferenciais lineares, como o fator integrante.
Passo 6
Resolva a equação linear resultante para
. Uma vez que
é encontrada, podemos retornar à substituição original para encontrar a solução geral da equação de Riccati:
Substituindo
e o valor de
, teremos a solução completa para
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é determinada resolvendo a equação linear obtida após a substituição.
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Determine, justificando, os autovalores e as autofunções do problema de contorno
Desenvolva
, para
em uma
(b) série de senos;
(b) série de senos;
Calcule as integrais: