, considere

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação diferencial e nos pede para considerar uma solução particular . Vamos resolver essa equação passo a passo, entendendo os conceitos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que estamos lidando. A equação dada é não linear por causa do termo . Esse tipo de equação é conhecido como Equação de Riccati. A forma geral de uma equação de Riccati é:
No nosso caso, rearranjando a equação:
Podemos ver que se encaixa na forma de Riccati com:

Passo 3

Sabendo que temos uma solução particular , podemos usar essa solução para transformar a equação de Riccati em uma equação linear, facilitando a resolução. Para isso, fazemos a substituição:
onde é uma nova função a ser determinada.

Passo 4

Vamos substituir na equação original. Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, substituímos e na equação de Riccati:
Essa substituição vai simplificar a equação em termos de .

Passo 5

Após simplificar a substituição, o objetivo é conseguir uma equação linear em . Vamos reorganizar os termos e simplificar:
Isso nos leva a uma equação linear para , que pode ser resolvida usando métodos tradicionais para equações diferenciais lineares, como o fator integrante.

Passo 6

Resolva a equação linear resultante para . Uma vez que é encontrada, podemos retornar à substituição original para encontrar a solução geral da equação de Riccati:
Substituindo e o valor de , teremos a solução completa para .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é determinada resolvendo a equação linear obtida após a substituição.

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