Calcule as integrais: integral tan ^5(x) sec ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de tan^5(x) sec^3(x) , dx. Isso envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente e a secante, e vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a manipulação. Podemos separar uma potência de tan(x) e uma de sec(x):
integral tan^5(x) sec^3(x) , dx = integral tan^4(x) cdot tan(x) sec^3(x) , dx

Passo 3

Sabemos que tan^2(x) = sec^2(x) - 1. Vamos usar essa identidade para expressar tan^4(x):
tan^4(x) = (tan^2(x))^2 = (sec^2(x) - 1)^2

Passo 4

Agora, expandimos (sec^2(x) - 1)^2:
(sec^2(x) - 1)^2 = sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1
Então, substituindo de volta na integral:
integral (sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1) cdot tan(x) sec^3(x) , dx

Passo 5

Multiplicamos os termos:
integral (sec^4(x) tan(x) sec^3(x) - 2sec^2(x) tan(x) sec^3(x) + tan(x) sec^3(x)) , dx
Simplificando as potências de sec(x):
integral (tan(x) sec^7(x) - 2tan(x) sec^5(x) + tan(x) sec^3(x)) , dx

Passo 6

Perceba que todas as parcelas têm um fator de tan(x) sec^n(x). Podemos usar a substituição u = sec(x), pois a derivada de sec(x) é sec(x)tan(x), que aparece na nossa integral.
Então, definimos:
u = sec(x) du = sec(x)tan(x) , dx

Passo 7

Vamos reescrever cada parcela da integral em termos de u:
  1. Para tan(x) sec^7(x) , dx:
    tan(x) sec^7(x) , dx = u^7 cdot duu = u^6 , du
  2. Para -2tan(x) sec^5(x) , dx:
    -2tan(x) sec^5(x) , dx = -2u^5 cdot duu = -2u^4 , du
  3. Para tan(x) sec^3(x) , dx:
    tan(x) sec^3(x) , dx = u^3 cdot duu = u^2 , du

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral u^6 , du - 2integral u^4 , du + integral u^2 , du
Integrando termo a termo:
  1. integral u^6 , du = u^77
  2. -2integral u^4 , du = -2 cdot u^55 = -2u^55
  3. integral u^2 , du = u^33

Passo 9

Substituindo u = sec(x) de volta:
sec^7(x)7 - 2sec^5(x)5 + sec^3(x)3 + C

Resposta

Então, a integral de tan^5(x) sec^3(x) , dx é:
integral tan^5(x) sec^3(x) , dx = sec^7(x)7 - 2sec^5(x)5 + sec^3(x)3 + C
onde C é a constante de integração.

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