Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
. Isso envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente e a secante, e vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a manipulação. Podemos separar uma potência de
e uma de
:
Passo 3
Sabemos que
. Vamos usar essa identidade para expressar
:
Passo 4
Agora, expandimos
:
Então, substituindo de volta na integral:
Passo 5
Multiplicamos os termos:
Simplificando as potências de
:
Passo 6
Perceba que todas as parcelas têm um fator de
. Podemos usar a substituição
, pois a derivada de
é
, que aparece na nossa integral.
Então, definimos:
Passo 7
Vamos reescrever cada parcela da integral em termos de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 9
Substituindo
de volta:
Resposta
Então, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
Encontre todos os possiveis máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções apresentad as abaixo:
Seja
. Encontrar a equação da reta tangente à curva C , resultante da interseç̧ão de
no ponto
.