Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de . Isso envolve funções trigonométricas, especificamente a tangente e a secante, e vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a manipulação. Podemos separar uma potência de e uma de :

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar essa identidade para expressar :

Passo 4

Agora, expandimos :
Então, substituindo de volta na integral:

Passo 5

Multiplicamos os termos:
Simplificando as potências de :

Passo 6

Perceba que todas as parcelas têm um fator de . Podemos usar a substituição , pois a derivada de é , que aparece na nossa integral.
Então, definimos:

Passo 7

Vamos reescrever cada parcela da integral em termos de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

Então, a integral de é:
onde é a constante de integração.

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; considere y
Encontre todos os possiveis máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções apresentad as abaixo:
Seja . Encontrar a equação da reta tangente à curva C , resultante da interseç̧ão de no ponto .