Calcule as integrais. integral-1^0 traiz5 t^2+2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-1^0 traiz5 t^2+2 , dt. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre substituição para integrar funções. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir u = 5t^2 + 2. Isso porque o denominador tem essa expressão dentro da raiz, e ao substituir, conseguimos simplificar a integral.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a t para encontrar du. Então,
dudt = 10t Rightarrow du = 10t , dt
Para isolar t , dt, dividimos ambos os lados por 10:
t , dt = du10

Passo 4

Substituímos u e t , dt na integral original:
integral-1^0 traiz5 t^2+2 , dt = integralu(-1)^u(0) 1raizu cdot du10
Isso simplifica para:
110 integralu(-1)^u(0) u^-1/2 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-1/2. A integral de u^n é u^n+1n+1, então:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
Portanto, nossa integral fica:
110 cdot 2u^1/2 = 15 raizu

Passo 6

Voltando para a variável original t, substituímos u = 5t^2 + 2:
15 raiz5t^2 + 2
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de t = -1 a t = 0.

Passo 7

Calculando nos limites:
Para t = 0:
15 raiz5(0)^2 + 2 = 15 raiz2
Para t = -1:
15 raiz5(-1)^2 + 2 = 15 raiz5 + 2 = 15 raiz7

Passo 8

Subtraindo os valores nos limites:
15 raiz2 - 15 raiz7 = raiz2 - raiz75

Resposta

A integral integral-1^0 traiz5 t^2+2 , dt é igual a raiz2 - raiz75.

Exercícios relacionados