Calcule as integrais. integral0^1 raizt^4+t^2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integração de funções algébricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e usar uma substituição que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: t^4 + t^2 = t^2(t^2 + 1) . Dá para fatorar dessa expressão:

Passo 3

Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^1 raizt^4 + t^2 , dt = integral0^1 raizt^2(t^2 + 1) , dt
Dentro da raiz, temos o produto de raizt^2(t^2 + 1) = t raizt^2 + 1 e . A raiz de um produto é o produto das raízes, então:

Passo 4

Substituindo essa simplificação na integral, temos:
integral0^1 t raizt^2 + 1 , dt
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 5

Vamos fazer a substituição:
u = t^2 + 1
Agora, calculamos a derivada de dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2 em relação a :

Passo 6

Substituindo integralu(0)^u(1) raizu cdot du2 = 12 integralu(0)^u(1) u^1/2 , du e u(0) = 0^2 + 1 = 1 na integral, temos:
u(1) = 1^2 + 1 = 2
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando :
E quando :

Passo 7

Então, a integral fica:
12 integral1^2 u^1/2 , du
Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.

Passo 8

Aplicando a integral e substituindo os limites:
12 [ 23 u^3/2 ]1^2 = 13 [ u^3/2 ]1^2 = 13 ( 2^3/2 - 1^3/2 )
Sabemos que 13 ( 2 raiz2 - 1 ) e , então:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
2 raiz2 - 13

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