Calcule as integrais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de integração de funções algébricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e usar uma substituição que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Dá para fatorar
dessa expressão:
Passo 3
Agora, substituímos de volta na integral:
Dentro da raiz, temos o produto de
e
. A raiz de um produto é o produto das raízes, então:
Passo 4
Substituindo essa simplificação na integral, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 5
Vamos fazer a substituição:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Substituindo
e
na integral, temos:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando
:
E quando
:
Passo 7
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar em integrais definidas.
Passo 8
Aplicando a integral e substituindo os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: