Calcule as integrais. integral-1^2 x^2(7-x^3)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral-1^2 x^2(7-x^3)^4 dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integração por substituição. Para resolver, a gente vai precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função podemos substituir. Olha só, temos (7 - x^3)^4. O interior dessa parte, 7 - x^3, parece uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:
u = 7 - x^3

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a x para fazer a substituição completa. Vamos derivar u:
dudx = -3x^2
Isso significa que:
du = -3x^2dx Rightarrow -13du = x^2dx

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando essa substituição. Substituindo u e x^2dx:
integral x^2(7 - x^3)^4 dx = integral (u)^4 (-13du) = -13 integral u^4 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 du = u^55 + C
Então, temos:
-13 cdot u^55 + C = -u^515 + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x substituindo u = 7 - x^3:
-(7 - x^3)^515 + C

Passo 7

Por fim, aplicamos os limites de integração de x = -1 a x = 2:
[ -(7 - x^3)^515 ]-1^2 = -(7 - 2^3)^515 + (7 - (-1)^3)^515
Calculando os valores:
Para x = 2:
7 - 2^3 = 7 - 8 = -1 (-1)^5 = -1 -(-1)15 = 115
Para x = -1:
7 - (-1)^3 = 7 - (-1) = 8 8^5 = 32768 3276815

Resposta

Substituindo os valores, temos:
115 - 3276815 = -3276715
Portanto, o valor da integral é:
-3276715

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