Calcule as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração, especialmente como integrar potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que e . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica para integrar é:
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites após integrar.

Passo 4

Aplicando a regra de integração a cada termo:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrais, temos:
Isso significa que vamos avaliar essa expressão nos limites de 4 e 1 e depois subtrair.

Passo 6

Vamos primeiro avaliar em :
Calculando : Isso é igual a .
Calculando : .
Então:

Passo 7

Agora, avaliamos em :
Sabendo que e , temos:

Passo 8

Agora, subtraímos o valor em 1 do valor em 4:

Resposta

O valor da integral é .

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