Calcule as integrais. integral1^4(raizx-1raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração, especialmente como integrar potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral1^4 (x^1/2 - x^-1/2) dx e . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica para integrar integral x^n dx = x^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites após integrar.

Passo 4

Aplicando a regra de integração a cada termo:
Para integral x^1/2 dx = x^1/2 + 11/2 + 1 = x^3/23/2 = 23x^3/2 :
integral x^-1/2 dx = x^-1/2 + 1-1/2 + 1 = x^1/21/2 = 2x^1/2
Para :

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrais, temos:
integral1^4 (x^1/2 - x^-1/2) dx = [23x^3/2 - 2x^1/2]1^4
Isso significa que vamos avaliar essa expressão nos limites de 4 e 1 e depois subtrair.

Passo 6

Vamos primeiro avaliar em 23(4)^3/2 - 2(4)^1/2 :
23 times 8 - 2 times 2 = 163 - 4 = 163 - 123 = 43
Calculando : Isso é igual a .
Calculando : .
Então:

Passo 7

Agora, avaliamos em 23(1)^3/2 - 2(1)^1/2 :
23 times 1 - 2 times 1 = 23 - 2 = 23 - 63 = -43
Sabendo que e , temos:

Passo 8

Agora, subtraímos o valor em 1 do valor em 4:
43 - (-43) = 43 + 43 = 83

Resposta

O valor da integral é .

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