Calcule as integrais. integral-3^0 x raiz[3]x^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integração definida. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Vamos definir:
u = x^2 + 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de du = 2x , dx em relação a :
Isso nos ajuda a substituir parte da integral.

Passo 3

Observamos que na integral original temos um x , dx = du2 , que aparece na derivação de . Vamos rearranjar para expressar :
Agora, podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo integral x raiz[3]x^2+4 , dx = integral raiz[3]u cdot du2 = 12 integral u^1/3 , du e na integral original, temos:
Agora a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar integral u^1/3 , du = u^4/343 + C = 34 u^4/3 + C em relação a 12 cdot 34 u^4/3 = 38 u^4/3 :
Multiplicando pelo que tínhamos antes:

Passo 6

Agora, substituímos 38 (x^2 + 4)^4/3 de volta para termos em :
Isso é a antiderivada da nossa função original.

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de [ 38 (x^2 + 4)^4/3 ]-3^0 = 38 (0^2 + 4)^4/3 - 38 ((-3)^2 + 4)^4/3 a 38 (4)^4/3 - 38 (13)^4/3 :
Calculando isso:

Resposta

A integral é igual a .

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