Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=2 x z-y e B: 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2 e 0 <= z-x-2 y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de uma função sobre uma região . A região de integração é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração corretamente e depois aplicar as regras de integração múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a desigualdade que define 0 <= z - x - 2y <= 1 :
x + 2y <= z <= x + 2y + 1
Isso significa que:
Então, para cada e dentro dos seus intervalos, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos estruturar a integral tripla. A ordem de integração será integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz = integraly=1^2 integralx=0^1 integralz=x+2y^x+2y+1 (2xz - y) , dz , dx , dy , depois , e por último , mas podemos escolher a ordem que for mais conveniente. Vamos seguir com primeiro:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integralz=x+2y^x+2y+1 (2xz - y) , dz :
integral 2xz , dz = 2x cdot z^22 = x z^2
Primeiro, integramos integral (-y) , dz = -y z em relação a x z^2 - y z |z=x+2y^x+2y+1 :
Depois, integramos em relação a :
Então, a integral de é:

Passo 5

Agora, avaliamos nos limites de x (x + 2y + 1)^2 - y (x + 2y + 1) - [ x (x + 2y)^2 - y (x + 2y) ] :
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 6

Primeiro, expandimos (x + 2y + 1)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 4y + 1 :
x(x^2 + 4xy + 4y^2 + 2x + 4y + 1) - y(x + 2y + 1) - [ x(x^2 + 4xy + 4y^2) - y(x + 2y) ]
Então, temos:

Passo 7

Simplificamos cada termo:
x^3 + 4x^2 y + 4x y^2 + 2x^2 + 4x y + x - yx - 2y^2 - y - x^3 - 4x^2 y - 4x y^2 + yx + 2y^2
Cancelando termos semelhantes:
2x^2 + 4x y + x - y

Passo 8

Agora, nossa integral fica:
integraly=1^2 integralx=0^1 (2x^2 + 4xy + x - y) , dx , dy
Vamos integrar em relação a .

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral (2x^2) , dx = 23x^3
integral (4xy) , dx = 4y cdot x^22 = 2y x^2
integral x , dx = x^22
integral (-y) , dx = -y x
Então:
23x^3 + 2y x^2 + x^22 - y x |x=0^1

Passo 10

Avaliando nos limites de ( 23(1)^3 + 2y (1)^2 + 1^22 - y (1) ) - 0 = 23 + 2y + 12 - y = 76 + y :
integraly=1^2 ( 76 + y ) , dy
Então, a integral se reduz a:

Passo 11

Integrando em relação a integral 76 , dy = 76 y :
integral y , dy = y^22
76 y + y^22 |1^2
Então:

Passo 12

Avaliando nos limites de 76 cdot 2 + (2)^22 = 146 + 42 = 73 + 2 = 133 :
Para 76 cdot 1 + (1)^22 = 76 + 12 = 76 + 36 = 106 = 53 :
133 - 53 = 83
Para :
A diferença é:

Resposta

A integral tripla vale .

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f(x, y, z)=zx+y e B=[1,2] times[0,1] times[0,1].
Estude a integrabilidade das funções dadas.
f(x, y, z)=llcos (x+y zraiz[3]y^2+z^2-1) & se y^2+z^2 neq 1, 0 & se y^2+z^2=1 em B: x^2+y^2+z^2 <= 4.
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Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=raiz1-x^2 e B: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 2 x.