Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de uma função sobre uma região . A região de integração é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração corretamente e depois aplicar as regras de integração múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a desigualdade que define :
Isso significa que:
Então, para cada e dentro dos seus intervalos, varia de a .
Passo 3
Agora, vamos estruturar a integral tripla. A ordem de integração será , depois , e por último , mas podemos escolher a ordem que for mais conveniente. Vamos seguir com primeiro:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :
Então, a integral de é:
Passo 5
Agora, avaliamos nos limites de x (x + 2y + 1)^2 - y (x + 2y + 1) - [ x (x + 2y)^2 - y (x + 2y) ] :