Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla da função
sobre a região
definida por
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais triplas da matéria de Cálculo, que nos permite calcular volumes e outras quantidades em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela está limitada por três desigualdades:
-
varia de 0 a 1, -
varia de 0 até , -
varia de 0 a 2.
Para fazer um esboço, imaginamos o espaço tridimensional:
- No eixo
, vamos de 0 a 1. - No eixo
, de 0 a 2. - Para cada valor de
, vai de 0 até , formando uma espécie de “piramidinha” inclinada.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. A ordem de integração que vamos seguir será
,
, e
, mas você pode escolher outra ordem se preferir. A integral fica assim:
Passo 4
Vamos começar a integrar passo a passo:
-
Integral em relação a
: Aqui, como a função não depende de , a integral é simples.z [ sin(u) ]u=z^2^u=1 + z^2 = z [ sin(1 + z^2) - sin(z^2) ] -
Integral em relação a
:integralz=0^2 z [ sin(1 + z^2) - sin(z^2) ] , dz integral0^2 z sin(1 + z^2) , dz - integral0^2 z sin(z^2) , dz Fazendo uma substituição , temos12 [ -cos(u) ] |1^5 - 12 [ -cos(u) ] |0^4 , então:12 ( -cos(5) + cos(1) ) - 12 ( -cos(4) + cos(0) ) 12 ( cos(1) - cos(5) + cos(4) - 1 ) -
Integral em relação a
:Essa integral pode ser dividida em duas partes:Usando a substituição e respectivamente, ambas as integrais resultam em:Calculando:Simplificando:
Resposta
Então, o valor da integral tripla é:
Usando uma calculadora para obter uma aproximação numérica:
Portanto, a integral tripla vale aproximadamente -0,698.