Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=cos (x+z^2) e B: 0 <= x <= 1,0 <= y <= z e 0 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla da função sobre a região definida por , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais triplas da matéria de Cálculo, que nos permite calcular volumes e outras quantidades em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está limitada por três desigualdades:
  • varia de 0 a 1,
  • varia de 0 até ,
  • varia de 0 a 2.
Para fazer um esboço, imaginamos o espaço tridimensional:
  • No eixo , vamos de 0 a 1.
  • No eixo , de 0 a 2.
  • Para cada valor de , vai de 0 até , formando uma espécie de “piramidinha” inclinada.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. A ordem de integração que vamos seguir será integral triplaB cos(x + z^2) , dx , dy , dz = integralz=0^2 integralx=0^1 integraly=0^z cos(x + z^2) , dy , dx , dz , , e , mas você pode escolher outra ordem se preferir. A integral fica assim:

Passo 4

Vamos começar a integrar passo a passo:
  1. Integral em relação a integraly=0^z cos(x + z^2) , dy = cos(x + z^2) cdot y |0^z = cos(x + z^2) cdot z :
    integralx=0^1 cos(x + z^2) cdot z , dx = z integralx=0^1 cos(x + z^2) , dx
    Aqui, como a função não depende de z [ sin(u) ]u=z^2^u=1 + z^2 = z [ sin(1 + z^2) - sin(z^2) ] , a integral é simples.
  2. Integral em relação a integralz=0^2 z [ sin(1 + z^2) - sin(z^2) ] , dz :
    integral0^2 z sin(1 + z^2) , dz - integral0^2 z sin(z^2) , dz
    Fazendo uma substituição 12 [ -cos(u) ] |1^5 - 12 [ -cos(u) ] |0^4 , temos 12 ( -cos(5) + cos(1) ) - 12 ( -cos(4) + cos(0) ) , então:
    12 ( cos(1) - cos(5) + cos(4) - 1 )
  3. Integral em relação a :
    Essa integral pode ser dividida em duas partes:
    Usando a substituição e respectivamente, ambas as integrais resultam em:
    Calculando:
    Simplificando:

Resposta

Então, o valor da integral tripla é:
12 ( cos(1) - cos(5) + cos(4) - 1 )
Usando uma calculadora para obter uma aproximação numérica:
approx 12 ( 0.5403 - 0.2837 + (-0.6536) - 1 ) approx 12 ( -1.396 ) approx -0.698
Portanto, a integral tripla vale aproximadamente -0,698.

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f(x, y, z)=raiz1-x^2 e B: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 2 x.
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f(x, y, z)=e^x^2+z^2 e B: y=x^2+z^2 e y=4.