Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla da função sobre a região definida por , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais triplas da matéria de Cálculo, que nos permite calcular volumes e outras quantidades em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está limitada por três desigualdades:
varia de 0 a 1,
varia de 0 até ,
varia de 0 a 2.
Para fazer um esboço, imaginamos o espaço tridimensional:
No eixo , vamos de 0 a 1.
No eixo , de 0 a 2.
Para cada valor de , vai de 0 até , formando uma espécie de “piramidinha” inclinada.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. A ordem de integração que vamos seguir será , , e , mas você pode escolher outra ordem se preferir. A integral fica assim:
Passo 4
Vamos começar a integrar passo a passo:
Integral em relação a :
Aqui, como a função não depende de z [ sin(u) ]u=z^2^u=1 + z^2 = z [ sin(1 + z^2) - sin(z^2) ] , a integral é simples.
Integral em relação a integralz=0^2 z [ sin(1 + z^2) - sin(z^2) ] , dz :
integral0^2 z sin(1 + z^2) , dz - integral0^2 z sin(z^2) , dz