Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=raiz1-x^2 e B: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla sobre a região definida por , e . Estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla, que é usada para calcular volumes ou quantidades acumuladas em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração integral triplaB raiz1 - x^2 , dx , dy , dz = integral0^1 integral0^1 integral0^2x raiz1 - x^2 , dz , dy , dx . Ela é definida por:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 a 1.
  • Para cada par , varia de 0 a .
Então, a integral tripla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^2x raiz1 - x^2 , dz = raiz1 - x^2 cdot (2x - 0) = 2x raiz1 - x^2 . Como a função integral0^1 integral0^1 2x raiz1 - x^2 , dy , dx não depende de , a integral em é simples:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar em relação a integral0^1 2x raiz1 - x^2 , dy = 2x raiz1 - x^2 cdot (1 - 0) = 2x raiz1 - x^2 . A expressão integral0^1 2x raiz1 - x^2 , dx não depende de , então a integral em também é direta:
Agora, a integral simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a u = 1 - x^2 Rightarrow du = -2x , dx Rightarrow -du = 2x , dx . Para isso, usamos uma substituição. Seja:
integral 2x raiz1 - x^2 , dx = integral raizu cdot (-du) = -integral u^1/2 , du
Substituindo na integral:
- cdot 23 u^3/2 + C = -23 (1 - x^2)^3/2 + C
Integrando:
-23 (1 - 1^2)^3/2 = -23 (0) = 0
Agora, avaliamos de -23 (1 - 0^2)^3/2 = -23 (1) = -23 a 0 - (-23) = 23 :
Para :
Para :
A diferença entre os limites é:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Sketch da Região de Integração

A região é um paralelepípedo limitado por e no plano . Em relação a , para cada , varia de 0 até , o que faz com que a altura em aumente linearmente conforme aumenta. Visualmente, isso se parece com uma caixa que se inclina para cima no sentido do eixo , com a face superior inclinada formando uma superfície linear em .

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