Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
sobre a região
definida por
,
e
. Estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla, que é usada para calcular volumes ou quantidades acumuladas em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é definida por:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de 0 a 1. - Para cada par
, varia de 0 a .
Então, a integral tripla fica assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Como a função
não depende de
, a integral em
é simples:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar em relação a
. A expressão
não depende de
, então a integral em
também é direta:
Agora, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. Para isso, usamos uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Integrando:
Agora, avaliamos de
a
:
Para
:
Para
:
A diferença entre os limites é:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Sketch da Região de Integração
A região
é um paralelepípedo limitado por
e
no plano
. Em relação a
, para cada
,
varia de 0 até
, o que faz com que a altura em
aumente linearmente conforme
aumenta. Visualmente, isso se parece com uma caixa que se inclina para cima no sentido do eixo
, com a face superior inclinada formando uma superfície linear em
.
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e
.
Considere
o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Escreva o sólido
na forma
e
e calcule a integral tripla de
sobre B.