Estude a integrabilidade das funções dadas. em B: x^2+y^2+z^2 <= 4.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de e . O objetivo é verificar se essa função é integrável no conjunto , que é a esfera de raio 2 centrada na origem ().
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que significa uma função ser integrável em uma região. Basicamente, uma função é integrável se a integral do seu valor absoluto sobre essa região for finita. Ou seja, queremos saber se:
integral triplaB |f(x, y, z)| , dx , dy , dz < infty
Passo 3
Vamos analisar a função f(x, y, z) = cos( x + y zraiz[3]y^2 + z^2 - 1 ) . Ela é definida de duas formas:
Quando f(x, y, z) = 0 :
Quando :
Precisamos verificar onde a função pode ter problemas, como descontinuidades ou singularidades que possam impedir a integrabilidade.
Passo 4
Observando a expressão no denominador, vemos que se , o denominador seria zero. No entanto, nesse caso, a função está definida como zero, então não há problema imediato de divisão por zero.
Agora, consideramos os valores de próximos a 1. Se , o denominador é positivo; se , o denominador é negativo, mas como é uma raiz cúbica, tudo bem porque a raiz cúbica de um número negativo é um número real negativo.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de onde está próximo de 1. A função cosseno está sempre limitada entre -1 e 1, então nessa região, o que já indica que não há explosão na função.
Passo 6
Além disso, a única descontinuidade possível acontece quando , mas como essa é uma superfície de medida zero dentro do conjunto , ela não afeta a integrabilidade da função .
Passo 7
Portanto, como a função é limitada em todo o conjunto e as possíveis descontinuidades não afetam a integral, podemos concluir que é integrável em .