Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
e a região de integração
é definida por
,
e
. Esse tipo de problema está relacionado a integrais múltiplas na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar integrar a função
primeiro em uma variável de cada vez, usando integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral fica assim:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos fatorar:
A integral de
de 0 a 1 é
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
. A integral fica:
Podemos fatorar o
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Usando propriedades dos logaritmos, isso fica:
Passo 4
Por fim, vamos integrar em relação a
de 1 a 2:
Podemos tirar o
para fora:
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte separadamente:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Simplificando:
Resposta
A integral tripla vale
.