Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=zx+y e B=[1,2] times[0,1] times[0,1].

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz, onde f(x, y, z) = zx+y e a região de integração B é definida por 1 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1. Esse tipo de problema está relacionado a integrais múltiplas na matéria de Cálculo. Para resolver, vamos precisar integrar a função f primeiro em uma variável de cada vez, usando integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A integral fica assim:
integral0^1 zx+y , dz
Aqui, 1x+y é uma constante em relação a z, então podemos fatorar:
1x+y integral0^1 z , dz
A integral de z de 0 a 1 é 12, então temos:
1x+y cdot 12 = 12(x+y)

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y. A integral fica:
integral0^1 12(x+y) , dy
Podemos fatorar o 12:
12 integral0^1 1x+y , dy
A integral de 1x+y em relação a y é ln|x+y|, então:
12 [ ln(x+y) ]0^1 = 12 (ln(x+1) - ln(x))
Usando propriedades dos logaritmos, isso fica:
12 ln(x+1x)

Passo 4

Por fim, vamos integrar em relação a x de 1 a 2:
integral1^2 12 ln(x+1x) , dx
Podemos tirar o 12 para fora:
12 integral1^2 ln(x+1x) , dx
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
ln(x+1x) = ln(x+1) - ln(x)
Então, a integral fica:
12 ( integral1^2 ln(x+1) , dx - integral1^2 ln(x) , dx )
Calculando cada parte separadamente:
  • integral ln(x+1) , dx = (x+1)ln(x+1) - (x+1) + C
  • integral ln(x) , dx = xln(x) - x + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
12 ( [3ln(3) - 3] - [2ln(2) - 2] - [2ln(2) - 2] + [1ln(1) - 1] )
Simplificando:
12 ( 3ln(3) - 3 - 2ln(2) + 2 - 2ln(2) + 2 ) = 12 ( 3ln(3) - 4ln(2) + 1 )

Resposta

A integral tripla vale 12 ( 3ln(3) - 4ln(2) + 1 ).

Exercícios relacionados

Estude a integrabilidade das funções dadas.
f(x, y, z)=llcos (x+y zraiz[3]y^2+z^2-1) & se y^2+z^2 neq 1, 0 & se y^2+z^2=1 em B: x^2+y^2+z^2 <= 4.
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