Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve a função
sobre a região
definida por
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Vamos precisar entender como descrever a região de integração e escolher uma coordenação adequada para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa um paraboloide que se abre na direção positiva do eixo
, e
é um plano horizontal. Então, a região
é o espaço entre esse paraboloide e o plano
.
Passo 3
Para calcular a integral, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas porque a região é simétrica em torno do eixo
. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume muda para
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo . -
varia de a , porque quando , temos então . -
varia de (a base do paraboloide) até (o plano superior).
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro. Como
e
são constantes em relação a
, a integral em
fica:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Podemos separar as integrais:
A primeira integral é simplesmente
.
Passo 8
Ficamos com:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição
, então
, ou seja,
.
Passo 9
Substituindo, a integral fica:
Distribuindo
:
Passo 10
Calculando as integrais:
Então, substituindo os limites de 0 a 4:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Considere
o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Escreva o sólido
na forma
e
e calcule a integral tripla de
sobre B.
Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre e
.
S é o sólido compreendido entre