Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=e^x^2+z^2 e B: y=x^2+z^2 e y=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve a função sobre a região definida por e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Vamos precisar entender como descrever a região de integração e escolher uma coordenação adequada para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa um paraboloide que se abre na direção positiva do eixo , e é um plano horizontal. Então, a região é o espaço entre esse paraboloide e o plano .

Passo 3

Para calcular a integral, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas porque a região é simétrica em torno do eixo x = r cos theta, z = r sin theta, y = y . Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume muda para .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • varia de a , porque quando , temos então .
  • varia de (a base do paraboloide) até (o plano superior).

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral triplaB e^x^2 + z^2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 e^r^2 cdot r , dy , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integralr^2^4 e^r^2 cdot r , dy = e^r^2 cdot r cdot (4 - r^2) primeiro. Como e são constantes em relação a , a integral em fica:

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 e^r^2 cdot r cdot (4 - r^2) , dr , dtheta
Podemos separar as integrais:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^2 e^r^2 cdot r cdot (4 - r^2) , dr
A primeira integral é simplesmente .

Passo 8

Ficamos com:
2pi cdot integral0^2 e^r^2 cdot r cdot (4 - r^2) , dr
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição , então , ou seja, .

Passo 9

Substituindo, a integral fica:
2pi cdot integral0^4 e^u cdot (4 - u) cdot 12 , du = pi cdot integral0^4 e^u cdot (4 - u) , du
Distribuindo pi cdot (4 integral0^4 e^u , du - integral0^4 u e^u , du) :

Passo 10

Calculando as integrais:
integral e^u , du = e^u + C
integral u e^u , du = e^u (u - 1) + C
Então, substituindo os limites de 0 a 4:
4 (e^4 - 1) - (e^4 (4 - 1) - (0 - 1)) = 4e^4 - 4 - 3e^4 + 1 = e^4 - 3

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi (e^4 - 3)

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