Considere B o sólido compreendido entre o paraboloide y = x^2 + z^2 e o plano y = 3. Escreva o sólido B na forma {(x, y, z) : (x, z) em K} e g(x, z) <= y <= h(x, z) e calcule a integral tripla de f(x, y, z) = cos(x^2 + z^2) sobre B.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede pra gente descrever o sólido que está entre o paraboloide e o plano , na forma . Depois, precisamos calcular a integral tripla da função sobre esse sólido. Vamos usar cálculo multivariável pra resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano . Sabemos que o paraboloide é dado por e o plano é . Então, para encontrar , igualamos essas duas equações:
Isso nos mostra que é o círculo no plano com raio .

Passo 3

Agora, vamos expressar o sólido na forma pedida. Já sabemos que está no círculo , ou seja, . E para , ele varia do paraboloide até o plano, ou seja:
Então, o sólido fica descrito por:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla. Como a região é um círculo, o melhor jeito é usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
Isso simplifica bastante a integração, especialmente por causa da simetria circular.

Passo 5

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 até (raio do círculo).
  • varia de 0 até (uma volta completa no círculo).
  • varia de até 3 (do paraboloide ao plano).

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Note que na coordenada cilíndrica.

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 8

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 9

Agora, integramos em :
Fazendo a substituição , , simplifica a integração.

Passo 10

Após a substituição e cálculo, encontramos que a integral fica:
Resolvendo essas integrais, obtemos os valores necessários.

Passo 11

Finalmente, integramos em , que é simples porque a integral não depende de :

Resposta

A integral tripla de sobre o sólido é igual a vezes a combinação das integrais resolvidas, resultando em:
Ou seja,

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