Considere
o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Escreva o sólido
na forma
e
e calcule a integral tripla de
sobre B.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede pra gente descrever o sólido
que está entre o paraboloide
e o plano
, na forma
. Depois, precisamos calcular a integral tripla da função
sobre esse sólido. Vamos usar cálculo multivariável pra resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
no plano
. Sabemos que o paraboloide é dado por
e o plano é
. Então, para encontrar
, igualamos essas duas equações:
Isso nos mostra que
é o círculo no plano
com raio
.
Passo 3
Agora, vamos expressar o sólido
na forma pedida. Já sabemos que
está no círculo
, ou seja,
. E para
, ele varia do paraboloide até o plano, ou seja:
Então, o sólido
fica descrito por:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla. Como a região
é um círculo, o melhor jeito é usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, temos:
Isso simplifica bastante a integração, especialmente por causa da simetria circular.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 até (raio do círculo). -
varia de 0 até (uma volta completa no círculo). -
varia de até 3 (do paraboloide ao plano).
Passo 6
Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Note que
na coordenada cilíndrica.
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 8
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Fazendo a substituição
,
, simplifica a integração.
Passo 10
Após a substituição e cálculo, encontramos que a integral fica:
Resolvendo essas integrais, obtemos os valores necessários.
Passo 11
Finalmente, integramos em
, que é simples porque a integral não depende de
:
Resposta
A integral tripla de
sobre o sólido
é igual a
vezes a combinação das integrais resolvidas, resultando em:
Ou seja,
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Calcule as integrais
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e
e
.
Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre e
.
S é o sólido compreendido entre
Calcule as integrais de linha:
de sobre a curva
,
, com
.
de