Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
e e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O exercício pede pra calcular , onde e a região de integração é definida por , e . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especialmente integrais múltiplas ou triplas. Vamos precisar entender como configurar a integral e então resolvê-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração . Ela é um cubo no espaço tridimensional onde cada coordenada , e varia de 0 a 1. Imagina um cubo de aresta 1 começando na origem (0,0,0) até (1,1,1). Esse é o nosso “esboço” da região de integração.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla. Como os limites de e são de 0 a 1 e não dependem de , podemos escrever a integral assim:
Perceba que a função só depende de , o que vai simplificar nossa vida.

Passo 4

Vamos integrar começando por , depois e por último . Como a função não depende de e , as integrais em e são simplesmente:

Passo 5

Com isso, nossa integral tripla fica reduzida a:
Agora, só nos resta calcular essa integral simples.

Passo 6

A integral é uma integral conhecida que representa a área de um quarto de círculo de raio 1. A antiderivada dela é:

Passo 7

Vamos calcular essa antiderivada de 0 a 1:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Considere definido por e e .
Determine a função potencial de e calcule a integral de linha de sobre a curva, , de classe por partes, de extremos e .
Considere o campo definido em todos os pontos .
Construa a função potencial para e conclua que se trata de um campo conservativo em .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
e é a pirâmide de vértices .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
e e .