Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=raiz1-x^2 e B: 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O exercício pede pra calcular , onde e a região de integração é definida por , e . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especialmente integrais múltiplas ou triplas. Vamos precisar entender como configurar a integral e então resolvê-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração . Ela é um cubo no espaço tridimensional onde cada coordenada , e varia de 0 a 1. Imagina um cubo de aresta 1 começando na origem (0,0,0) até (1,1,1). Esse é o nosso “esboço” da região de integração.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla. Como os limites de integral0^1 integral0^1 integral0^1 raiz1 - x^2 , dx , dy , dz e são de 0 a 1 e não dependem de , podemos escrever a integral assim:
Perceba que a função só depende de , o que vai simplificar nossa vida.

Passo 4

Vamos integrar começando por integral0^1 dz = 1 e integral0^1 dy = 1 , depois e por último . Como a função não depende de e , as integrais em e são simplesmente:

Passo 5

Com isso, nossa integral tripla fica reduzida a:
1 times 1 times integral0^1 raiz1 - x^2 , dx = integral0^1 raiz1 - x^2 , dx
Agora, só nos resta calcular essa integral simples.

Passo 6

A integral 12 ( x raiz1 - x^2 + arcsin(x) ) + C é uma integral conhecida que representa a área de um quarto de círculo de raio 1. A antiderivada dela é:

Passo 7

Vamos calcular essa antiderivada de 0 a 1:
12 (1 times 0 + pi2) - 12 (0 + 0) = pi4

Resposta

A integral tripla vale .

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