Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla! O exercício pede pra calcular
, onde
e a região de integração
é definida por
,
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especialmente integrais múltiplas ou triplas. Vamos precisar entender como configurar a integral e então resolvê-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração
. Ela é um cubo no espaço tridimensional onde cada coordenada
,
e
varia de 0 a 1. Imagina um cubo de aresta 1 começando na origem (0,0,0) até (1,1,1). Esse é o nosso “esboço” da região de integração.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla. Como os limites de
e
são de 0 a 1 e não dependem de
, podemos escrever a integral assim:
Perceba que a função
só depende de
, o que vai simplificar nossa vida.
Passo 4
Vamos integrar começando por
, depois
e por último
. Como a função não depende de
e
, as integrais em
e
são simplesmente:
Passo 5
Com isso, nossa integral tripla fica reduzida a:
Agora, só nos resta calcular essa integral simples.
Passo 6
A integral
é uma integral conhecida que representa a área de um quarto de círculo de raio 1. A antiderivada dela é:
Passo 7
Vamos calcular essa antiderivada de 0 a 1:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Considere
definido por
e
e
.
Determine a função potencial de e calcule a integral de linha de
sobre a curva,
, de classe
por partes, de extremos
e
.
Determine a função potencial de
Considere o campo
definido em todos os pontos
.
Construa a função potencial para e conclua que se trata de um campo conservativo em
.
Construa a função potencial para
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é a pirâmide de vértices
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.