Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=(x-y)^2 sen(2 x+y-z))raizx+2 y+3 z e B: 0 <= 2 x+y-z <= pi2, 1+y <= x <= 2+y e 0 <= x+2 y+3 z <= 1.

Passo 1

Vamos resumir o problema que temos aqui. Precisamos calcular a integral tripla:
integral triplaB f(x, y, z),dx,dy,dz
Onde a função é dada por:
f(x, y, z) = (x - y)^2 cdot sin(2x + y - z)raizx + 2y + 3z
E a região de integração é definida pelas seguintes desigualdades:
Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração múltipla e, provavelmente, uma mudança de variáveis para simplificar a expressão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Observando as desigualdades que definem a região u = 2x + y - z , percebemos que as expressões v = x + 2y + 3z e aparecem tanto na função que vamos integrar quanto nos limites de integração. Isso sugere que uma mudança de variáveis pode simplificar bastante nosso trabalho.
Vamos definir duas novas variáveis:
Agora, nosso objetivo é expressar e em termos de , e , para facilitar a integração.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para u = 2x + y - z (1) e v = x + 2y + 3z (2) :
3u = 6x + 3y - 3z (3)
v + 3u = (x + 2y + 3z) + (6x + 3y - 3z)
Multiplicando a equação (1) por 3:
v + 3u = 7x + 5y
Agora, somamos a equação (2):
7x = v + 3u - 5y
x = v + 3u - 5y7 (4)
Isolando u = 2(v + 3u - 5y7) + y - z :
u = 2v + 6u - 10y7 + y - z
7u = 2v + 6u - 10y + 7y - 7z
Agora, substituímos 7u - 6u = 2v - 3y - 7z da equação (4) na equação (1):
u = 2v - 3y - 7z
7z = 2v - 3y - u
Multiplicando tudo por 7 para eliminar o denominador:
z = 2v - 3y - u7 (5)
Isolando :
Agora, temos e em função de , e .

Passo 4

Vamos montar a transformação de variáveis:
x = v + 3u - 5y7
y = y
z = 2v - 3y - u7
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.
A matriz Jacobiana J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial y partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial y partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial y é:
partial xpartial u = 37, partial xpartial v = 17, partial xpartial y = -57
Calculando cada derivada:
partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 0, partial ypartial y = 1
partial zpartial u = -17, partial zpartial v = 27, partial zpartial y = -37
J = 37 & 17 & -57 0 & 0 & 1 -17 & 27 & -37
Assim, a matriz Jacobiana fica:
det(J) = (37) (0 cdot (-37) - 1 cdot 27) - (17) (0 cdot (-37) - 1 cdot (-17)) + (-57) (0 cdot 27 - 0 cdot (-17))
Calculando o determinante de det(J) = 37 (-27) - 17 (17) + 0 :
det(J) = -649 - 149 = -749 = -17
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função integranda e os limites de integração nas novas variáveis f(x, y, z) = (x - y)^2 cdot sin(2x + y - z)raizx + 2y + 3z , x - y = v + 3u - 5y7 - y = v + 3u - 12y7 e sin(2x + y - z) = sin(u) .
A função integranda:
raizx + 2y + 3z = raizv
Substituindo f(u, v, y) = (v + 3u - 12y7)^2 cdot sin(u)raizv = (v + 3u - 12y)^249 raizv cdot sin(u) e :
Portanto:
Agora, vamos definir os limites de integração. Originalmente, tínhamos:

Passo 6

Montamos a integral tripla na nova variável:
integral triplaB f(x, y, z),dx,dy,dz = integral0^pi2 integral0^1 integralv + 3u - 1412^v + 3u - 712 (v + 3u - 12y)^249 raizv cdot sin(u) cdot 17,dy,dv,du
Simplificando os coeficientes:
= 1343 integral0^pi2 sin(u) ( integral0^1 1raizv ( integralv + 3u - 1412^v + 3u - 712 (v + 3u - 12y)^2,dy ) dv ) du
Resolvendo a integral interna em integral14^7 t^2 cdot (-112),dt = 112 integral7^14 t^2,dt = 112 [ t^33 ]7^14 = 136 (2744 - 343) = 240136 :
Fazendo a substituição 1343 cdot 240136 integral0^pi2 sin(u),du = 240112348 cdot [ -cos(u) ]0^pi2 = 240112348 cdot (1) = 718 , então ou .
Quando ,
Quando ,
A integral se torna:
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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