Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e e .
Passo 1
Vamos resumir o problema que temos aqui. Precisamos calcular a integral tripla:
Onde a função é dada por:
E a região de integração é definida pelas seguintes desigualdades:
Para resolver essa integral, vamos precisar usar técnicas de integração múltipla e, provavelmente, uma mudança de variáveis para simplificar a expressão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Observando as desigualdades que definem a região , percebemos que as expressões e aparecem tanto na função que vamos integrar quanto nos limites de integração. Isso sugere que uma mudança de variáveis pode simplificar bastante nosso trabalho.
Vamos definir duas novas variáveis:
Agora, nosso objetivo é expressar e em termos de , e , para facilitar a integração.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para e :
Multiplicando a equação (1) por 3:
Agora, somamos a equação (2):
Isolando :
Agora, substituímos da equação (4) na equação (1):
Multiplicando tudo por 7 para eliminar o denominador:
Isolando :
Agora, temos e em função de , e .
Passo 4
Vamos montar a transformação de variáveis:
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.
A matriz Jacobiana é:
Calculando cada derivada:
partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 0, partial ypartial y = 1
partial zpartial u = -17, partial zpartial v = 27, partial zpartial y = -37
Calculando o determinante de det(J) = 37 (-27) - 17 (17) + 0 :
det(J) = -649 - 149 = -749 = -17
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função integranda e os limites de integração nas novas variáveis f(x, y, z) = (x - y)^2 cdot sin(2x + y - z)raizx + 2y + 3z , x - y = v + 3u - 5y7 - y = v + 3u - 12y7 e sin(2x + y - z) = sin(u) .
A função integranda:
raizx + 2y + 3z = raizv
Substituindo f(u, v, y) = (v + 3u - 12y7)^2 cdot sin(u)raizv = (v + 3u - 12y)^249 raizv cdot sin(u) e :
Portanto:
Agora, vamos definir os limites de integração. Originalmente, tínhamos:
Passo 6
Montamos a integral tripla na nova variável:
integral triplaB f(x, y, z),dx,dy,dz = integral0^pi2 integral0^1 integralv + 3u - 1412^v + 3u - 712 (v + 3u - 12y)^249 raizv cdot sin(u) cdot 17,dy,dv,du
Simplificando os coeficientes:
= 1343 integral0^pi2 sin(u) ( integral0^1 1raizv ( integralv + 3u - 1412^v + 3u - 712 (v + 3u - 12y)^2,dy ) dv ) du
Resolvendo a integral interna em integral14^7 t^2 cdot (-112),dt = 112 integral7^14 t^2,dt = 112 [ t^33 ]7^14 = 136 (2744 - 343) = 240136 :
Fazendo a substituição 1343 cdot 240136 integral0^pi2 sin(u),du = 240112348 cdot [ -cos(u) ]0^pi2 = 240112348 cdot (1) = 718 , então ou .