Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=x y z e B é a pirâmide de vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0) e(0,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que pede para calcular integral triplaB f(x, y, z) , dx , dy , dz. O que a gente tem aqui é uma função f(x, y, z) = xyz e uma região de integração B que é uma pirâmide com vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente a tripla, e vamos precisar entender bem como definir os limites de integração para essa pirâmide.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região B. É uma pirâmide com base no plano xy e o ponto de ápice no eixo z. Os vértices nos mostram que as interseções com os eixos são em x=2, y=2 e z=2. Isso significa que a base da pirâmide é um triângulo no plano xy com vértices em (0,0,0), (2,0,0) e (0,2,0), e o vértice superior está em (0,0,2).

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para x, y e z. Vamos optar por integrar na ordem dz , dy , dx.
  • Para x, observa-se que varia de 0 a 2.
  • Para um valor fixo de x, o y varia de 0 a 2 - x (porque a base é o triângulo x + y <= 2).
  • Para valores fixos de x e y, o z varia de 0 até a altura da pirâmide, que é dada pela equação z = 2 - x - y.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
integral triplaB xyz , dx , dy , dz = integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y xyz , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integrando em relação a z:
integral0^2 - x - y xyz , dz = xy [ z^22 ]0^2 - x - y = xy cdot (2 - x - y)^22
  1. Agora, integrando em relação a y:
integral0^2 - x xy (2 - x - y)^22 , dy
Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja u = 2 - x - y, então du = -dy. Os limites mudam para u=2 - x quando y=0 e u=0 quando y=2 - x.
integral2 - x^0 x (2 - x - u) u^22 (-du) = x2 integral0^2 - x u^2 (2 - x - u) , du
Expandindo (2 - x - u):
= x2 integral0^2 - x (2 - x)u^2 - u^3 , du
Integrando termo a termo:
= x2 [ (2 - x) cdot u^33 - u^44 ]0^2 - x
Substituindo u = 2 - x:
= x2 [ (2 - x) cdot (2 - x)^33 - (2 - x)^44 ] = x2 [ (2 - x)^43 - (2 - x)^44 ] = x2 cdot (2 - x)^412 = x (2 - x)^424
  1. Finalmente, integrando em relação a x:
integral0^2 x (2 - x)^424 , dx
Vamos fazer uma substituição: seja u = 2 - x, então du = -dx, e quando x=0, u=2; quando x=2, u=0.
integral2^0 (2 - u) u^424 (-du) = 124 integral0^2 (2u^4 - u^5) , du = 124 [ 2 cdot u^55 - u^66 ]0^2
Substituindo u=2:
= 124 [ 2 cdot 325 - 646 ] = 124 [ 645 - 646 ] = 124 cdot 6430 = 64720 = 890 = 445

Resposta

A integral tripla vale 445.

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