Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
e é a pirâmide de vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que pede para calcular . O que a gente tem aqui é uma função e uma região de integração que é uma pirâmide com vértices em , , e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente a tripla, e vamos precisar entender bem como definir os limites de integração para essa pirâmide.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . É uma pirâmide com base no plano e o ponto de ápice no eixo . Os vértices nos mostram que as interseções com os eixos são em , e . Isso significa que a base da pirâmide é um triângulo no plano com vértices em , e , e o vértice superior está em .

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para , e . Vamos optar por integrar na ordem .
  • Para , observa-se que varia de a .
  • Para um valor fixo de , o varia de a (porque a base é o triângulo ).
  • Para valores fixos de e , o varia de até a altura da pirâmide, que é dada pela equação .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integrando em relação a :
  1. Agora, integrando em relação a :
Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então . Os limites mudam para quando e quando .
Expandindo :
Integrando termo a termo:
Substituindo :
  1. Finalmente, integrando em relação a :
Vamos fazer uma substituição: seja , então , e quando , ; quando , .
Substituindo :

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
e e .
Considere definido por e e .
Determine a função potencial de e calcule a integral de linha de sobre a curva, , de classe por partes, de extremos e .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
e e .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
e e .