Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é a pirâmide de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que pede para calcular
. O que a gente tem aqui é uma função
e uma região de integração
que é uma pirâmide com vértices em
,
,
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente a tripla, e vamos precisar entender bem como definir os limites de integração para essa pirâmide.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. É uma pirâmide com base no plano
e o ponto de ápice no eixo
. Os vértices nos mostram que as interseções com os eixos são em
,
e
. Isso significa que a base da pirâmide é um triângulo no plano
com vértices em
,
e
, e o vértice superior está em
.
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para
,
e
. Vamos optar por integrar na ordem
.
- Para
, observa-se que varia de a . - Para um valor fixo de
, o varia de a (porque a base é o triângulo ). - Para valores fixos de
e , o varia de até a altura da pirâmide, que é dada pela equação .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integrando em relação a
:
- Agora, integrando em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então
. Os limites mudam para
quando
e
quando
.
Seja
Expandindo
:
Integrando termo a termo:
Substituindo
:
- Finalmente, integrando em relação a
:
Vamos fazer uma substituição: seja
, então
, e quando
,
; quando
,
.
Substituindo
:
Resposta
A integral tripla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Considere
definido por
e
e
.
Determine a função potencial de e calcule a integral de linha de
sobre a curva,
, de classe
por partes, de extremos
e
.
Determine a função potencial de
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.