Considere
definido por
e
e
.
Determine a função potencial de
e calcule a integral de linha de
sobre a curva,
, de classe
por partes, de extremos
e
.
Determine a função potencial de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função potencial de um campo vetorial
dado e, depois, calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha. Vamos precisar entender como encontrar a função potencial e como aplicar o teorema fundamental para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja,
. Para isso, precisamos que as derivadas parciais de
correspondam aos componentes de
.
Passo 3
Vamos supor que existe uma função potencial
tal que:
Primeiro, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Comparando os dois lados, temos:
Isso implica que
. Integrando em relação a
, obtemos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Como a constante
não afeta o gradiente, podemos descartá-la. Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha de
ao longo da curva
que vai de
a
. Já que
é um campo conservativo, a integral depende apenas dos pontos finais e pode ser calculada usando a função potencial:
Vamos calcular cada termo:
Resposta
A função potencial de
é
e a integral de linha de
sobre a curva
de
a
é:
Exercícios relacionados
Considere o campo
definido em todos os pontos
.
Construa a função potencial para e conclua que se trata de um campo conservativo em
.
Construa a função potencial para
Calcule as integrais de linha:
de sobre a curva
,
, com
.
de
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é a pirâmide de vértices
.