Considere F: Omega subset R^2 -> R^2 definido por F(x, y) = e^(2y) i + (1 + 2x e^(2y)) j e Ω {(x, y) | x em R} e y > 0.
Determine a função potencial de F e calcule a integral de linha de F sobre a curva, gamma, de classe C^1 por partes, de extremos 1,1 e 0,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função potencial de um campo vetorial F dado e, depois, calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva específica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha. Vamos precisar entender como encontrar a função potencial e como aplicar o teorema fundamental para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial, ou seja, . Para isso, precisamos que as derivadas parciais de phi correspondam aos componentes de F.

Passo 3

Vamos supor que existe uma função potencial phi(x, y) tal que:
Primeiro, vamos integrar em relação a x para encontrar phi:
Aqui, é uma função de y que aparece na constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos derivar phi(x, y) em relação a y e igualar à segunda componente de F:
Comparando os dois lados, temos:
Isso implica que . Integrando em relação a y, obtemos:
Onde C é uma constante de integração.

Passo 5

Substituindo na expressão de phi(x, y), temos:
Como a constante C não afeta o gradiente, podemos descartá-la. Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha de F ao longo da curva gamma que vai de 1,1 a 0,2. Já que F é um campo conservativo, a integral depende apenas dos pontos finais e pode ser calculada usando a função potencial:
Vamos calcular cada termo:

Resposta

A função potencial de F é e a integral de linha de F sobre a curva gamma de 1,1 a 0,2 é:

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