Considere o campo
definido em todos os pontos
.
Construa a função potencial para
e conclua que se trata de um campo conservativo em
.
Construa a função potencial para
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre campos vetoriais e funções potenciais! A questão nos dá um campo vetorial
definido para todos os pontos no plano
. Nosso objetivo é construir uma função potencial para esse campo e mostrar que ele é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
. Ou seja,
, onde:
Então, para encontrar a função potencial
, precisamos integrar as componentes de
.
Passo 3
Vamos começar integrando a componente
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece porque a constante de integração pode depender de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à componente
:
Integrando essa expressão em relação a
, obtemos:
Onde
é uma constante.
Passo 5
Agora, juntando tudo, a função potencial
é:
Podemos simplificar removendo a constante
, já que qualquer constante adicionada não afeta o gradiente.
Resposta
A função potencial para o campo
é
Como encontramos uma função potencial para
, concluímos que o campo é conservativo em
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linha:
de sobre a curva
,
, com
.
de
Use integral tripla para calcular o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica dos sólidos.
S é o sólido compreendido entre e
.
S é o sólido compreendido entre
Considere
definido por
e
e
.
Determine a função potencial de e calcule a integral de linha de
sobre a curva,
, de classe
por partes, de extremos
e
.
Determine a função potencial de
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
e
.