Considere o campo F(x, y) = [(1/x) + e^x] i + [(2/y) - sen(y)] j definido em todos os pontos d e R^2.
Construa a função potencial para F e conclua que se trata de um campo conservativo em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre campos vetoriais e funções potenciais! A questão nos dá um campo vetorial F(x, y) = [(1/x) + e^x] i + [(2/y) - sen(y)] j definido para todos os pontos no plano R^2. Nosso objetivo é construir uma função potencial para esse campo e mostrar que ele é conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é chamado de conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar f(x, y). Ou seja, , onde:
Então, para encontrar a função potencial f(x, y), precisamos integrar as componentes de F.

Passo 3

Vamos começar integrando a componente em relação a x:
Aqui, é uma função que depende apenas de y e aparece porque a constante de integração pode depender de y.

Passo 4

Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar à componente :
Integrando essa expressão em relação a y, obtemos:
Onde C é uma constante.

Passo 5

Agora, juntando tudo, a função potencial f(x, y) é:
Podemos simplificar removendo a constante C, já que qualquer constante adicionada não afeta o gradiente.

Resposta

A função potencial para o campo F é
Como encontramos uma função potencial para F, concluímos que o campo é conservativo em R^2.

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