Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=x y-z^3 e B=[0,2] times[1,2] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla onde e a região de integração é o paralelepípedo definido por . Vamos precisar usar os conceitos de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, e entender como visualizar a região para fazer um esboço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é um paralelepípedo que vai de até , até e até . Para esboçar, imagine um bloco tridimensional onde:
  • No eixo , vai de 0 a 2.
  • No eixo , vai de 1 a 2.
  • No eixo , vai de 0 a 1.
Isso forma uma caixa retangular fixa nessa especificação.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. Como os limites para integral triplaB (xy - z^3) , dx , dy , dz = integral0^2 integral1^2 integral0^1 (xy - z^3) , dz , dy , dx , e são constantes, podemos separar a integral em três integrais simples:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a integral0^1 (xy - z^3) , dz = integral0^1 xy , dz - integral0^1 z^3 , dz primeiro:
integral0^1 xy , dz = xy cdot z |0^1 = xy(1 - 0) = xy
Calculando cada parte:
integral0^1 z^3 , dz = z^44 |0^1 = 14 - 0 = 14
integral0^1 (xy - z^3) , dz = xy - 14
Então,

Passo 5

Agora, substituímos na integral e integramos em relação a integral1^2 ( xy - 14 ) , dy = x integral1^2 y , dy - 14 integral1^2 , dy :
x integral1^2 y , dy = x ( y^22 |1^2 ) = x ( 42 - 12 ) = x cdot 32 = 3x2
Calculando cada parte:
14 integral1^2 , dy = 14 (2 - 1) = 14
integral1^2 ( xy - 14 ) , dy = 3x2 - 14
Então,

Passo 6

Por último, integramos em relação a integral0^2 ( 3x2 - 14 ) , dx = 32 integral0^2 x , dx - 14 integral0^2 , dx :
32 integral0^2 x , dx = 32 ( x^22 |0^2 ) = 32 ( 42 - 0 ) = 32 cdot 2 = 3
Calculando cada parte:
14 integral0^2 , dx = 14 (2 - 0) = 12
integral0^2 ( 3x2 - 14 ) , dx = 3 - 12 = 52
Então,

Resposta

A integral tripla é igual a .

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Estude a integrabilidade das funções dadas.
f(x, y, z) = 2 x^2 y + x z^3 em B = {(x, y, z): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1} e y x^2 <= z <= y^2 + x^3.
Mostre que toda função f: B ⊂ R^3 → R contínua é integrável no paralelepípedo B = [a, b] x [c, d] x [p, q].
Estude a integrabilidade das funções dadas.
f(x, y, z)=llcos (x+y zraiz[3]y^2+z^2-1) & se y^2+z^2 neq 1, 0 & se y^2+z^2=1 em B: x^2+y^2+z^2 <= 4.
Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y, z)=zx+y e B=[1,2] times[0,1] times[0,1].