Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla onde e a região de integração é o paralelepípedo definido por . Vamos precisar usar os conceitos de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, e entender como visualizar a região para fazer um esboço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é um paralelepípedo que vai de até , até e até . Para esboçar, imagine um bloco tridimensional onde:
No eixo , vai de 0 a 2.
No eixo , vai de 1 a 2.
No eixo , vai de 0 a 1.
Isso forma uma caixa retangular fixa nessa especificação.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. Como os limites para , e são constantes, podemos separar a integral em três integrais simples:
Passo 4
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Calculando cada parte:
integral0^1 (xy - z^3) , dz = xy - 14
Então,
Passo 5
Agora, substituímos na integral e integramos em relação a integral1^2 ( xy - 14 ) , dy = x integral1^2 y , dy - 14 integral1^2 , dy :
x integral1^2 y , dy = x ( y^22 |1^2 ) = x ( 42 - 12 ) = x cdot 32 = 3x2
Calculando cada parte:
14 integral1^2 , dy = 14 (2 - 1) = 14
integral1^2 ( xy - 14 ) , dy = 3x2 - 14
Então,
Passo 6
Por último, integramos em relação a integral0^2 ( 3x2 - 14 ) , dx = 32 integral0^2 x , dx - 14 integral0^2 , dx :