Mostre que toda função
contínua é integrável no paralelepípedo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que toda função contínua
é integrável no paralelepípedo
. Isso tá ligado ao cálculo de múltiplas integrais, onde a gente integra funções de várias variáveis sobre regiões específicas. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como isso garante que ela seja integrável nesse paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função
contínua em um conjunto significa que, para qualquer ponto dentro desse conjunto, pequenas variações na entrada resultam em pequenas variações na saída. Isso evita “saltos” ou “interrupções” na função.
Passo 3
Agora, o paralelepípedo
é um conjunto fechado e limitado em
. Isso significa que ele é compacto, ou seja, todo conjunto fechado e limitado em
é compacto.
Passo 4
Um teorema importante aqui é que toda função contínua definida em um conjunto compacto é limitada e atinge seus valores máximos e mínimos nesse conjunto. Isso é essencial para a integrabilidade porque garante que a função não vai “explodir” para infinito dentro do paralelepípedo.
Passo 5
Além disso, em análise múltipla, sabemos que se uma função é contínua em um conjunto compacto, então ela é integrável nesse conjunto. Isso ocorre porque podemos aproximar a função por somas de Riemann de forma arbitrária, devido à sua continuidade e ao fato de o domínio ser compacto.
Passo 6
Portanto, juntando tudo, como
é contínua no paralelepípedo compacto
, podemos afirmar que
é integrável sobre
.
Resposta
Toda função contínua
é integrável no paralelepípedo
.
Exercícios relacionados
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.